του Δρ Κωνσταντίνου Σταυρόπουλου
Ὁ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς, γνωστὸς καὶ ὡς Στοιχειωτής, λόγῳ τῆς καθοριστικῆς συμβολῆς του στὴν συγκρότηση τῶν ἀρχῶν τῆς ἐπιστήμης τῶν Μαθηματικῶν, ἐπαρουσίασε περὶ τὸ 300π.Χ., στὰ δεκατρία βιβλία τῶν Στοιχείων, ὅλην τὴν μαθηματικὴ γνώση τῆς ἐποχῆς. Τὰ ἀκριβῆ προσωπικά του στοιχεῖα μᾶς εἶναι σχεδὸν ἄγνωστα. Ἀπὸ τὸν Νεοπλατωνικὸ φιλόσοφο Πρόκλο πληροφορούμαστε, ὅτι ἦταν σύγχρονος τοῦ Πτολεμαίου Α´, ἐμαθήτευσε στὴν πλατωνικὴ Ἀκαδημεία, τῆς ὁποίας ἀσπάσθηκε τὶς ἀρχὲς καὶ ἐδίδαξε τὴν ἐπιστήμη τῶν Μαθηματικῶν στὸ Μουσεῖον τῆς Ἀλεξανδρείας, τὸ πιὸ φημισμένο πανεπιστημιακὸ ἵδρυμα τῆς περιόδου τῶν ἑλληνιστικῶν χρόνων: τῇ προαιρέσει δὲ Πλατωνικός ἐστι καὶ τῇ φιλοσοφίᾳ ταύτῃ οἰκεῖος, ὅθεν δὴ καὶ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο τὴν τῶν καλουμένων πλατωνικῶν σχημάτων σύστασιν[1].
Ἡ διαπίστωση τοῦ Ἀριστοτέλους στὰ Ἀναλυτικῶν Ὕστερα (71a, 1-2), ὅτι: πᾶσα διδασκαλία καὶ πᾶσα μάθησις διανοητικὴ ἐκ προϋπαρχούσης γίνεται γνώσεως, εὑρίσκει τὴν ἀπόλυτη ἐφαρμογή της στὸν Εὐκλείδη, ὁ ὁποῖος ἀκολούθησε στὴν παράδοση ποὺ εἶχαν ἐγκαινιάσει οἱ πρωτεργάτες τοῦ Ἀρχαιοελληνικοῦ Διαφωτισμοῦ: ἀφ᾽ ἑνὸς ὁ Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, ὁ Πυθαγόρας στὸ Ὁμακοεῖον, οἱ Ἐλεᾶτες Παρμενίδης καὶ Ζήνων, ἀφ᾽ ἑτέρου οἱ ἐπίγονοι, ὁ Πλάτων, ὁ Ἀριστοτέλης καὶ οἱ μεγάλοι Μαθηματικοὶ τῆς Ἀκαδημείας: ὁ Θεαίτητος, ὁ Λεωδάμας ὁ Θάσιος, ὁ Ἡρακλείδης ὁ Ποντικός, ὁ Φίλιππος ὁ Ὀπούντιος, ὁ Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, ὁ Θεύδιος ὁ Μάγνης, ὁ Ἱπποκράτης ὁ Χῖος· οἱ δύο τελευταῖοι ἀναφέρονται καὶ ὡς συγγραφεῖς πρωΐμων στοιχείων, ἐκ τῶν ὁποίων εἰκάζεται ὅτι ἀφορμᾶται ὁ Εὐκλείδης. Ἐκτὸς τῶν Στοιχείων συνέγραψε ἀκόμη τὴν Κανόνος Κατατομήν, τὰ Ὀπτικά, τὰ Κατοπτρικά, τὰ ἀπωλεσθέντα Ψευδάρια κ.ἄ.
Πρὶν ἀπὸ τοὺς Ἕλληνες, κυριολεκτῶντας πρὶν ἀπὸ τὸν Θαλῆ, στὸν ὁποῖον ὀφείλουμε τὴν εἰσαγωγὴ τῶν καθολικῶν ἐννοιῶν (τῶν καθόλου τῆς Φιλοσοφίας)[2] τῶν, Ἀποδεικτικῶν ἢ Ἀξιωματικῶν, Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν καὶ τὴν ἀπόδειξιν, ἔχουμε τὰ λεγὀμενα Προελληνικὰ ἢ Ὑπολογιστικὰ Μαθηματικὰ τῶν Βαβυλωνίων, τῶν Σουμερίων καὶ τῶν Αἰγυπτίων, ἀπὸ τὰ ὁποῖα ἀπουσίαζαν, λόγῳ τῶν ἀναγκῶν τῆς καθημερινότητας ποὺ ἐξυπηρετοῦσαν στὸ Ἐμπόριο καὶ στὴν Γεωργία, τόσῳ οἱ καθολικὲς ἔννοιες ὅσῳ καὶ ἡ ἀπόδειξις, μὲ ὅλα τὰ ἀναγκαῖα ἐργαλεῖα ποὺ θὰ τὴν καθιστοῦσαν ἀπόλυτη καὶ ἀναμφισβήτητη, ἐξ οὗ καὶ ἡ παρατήρηση τοῦ Πλάτωνος στὴν Ἐπινομίδα (988a): λάβωμεν δὲ ὡς ὅ,τιπερ ἂν Ἕλληνες βαρβάρων παραλάβωσι, κάλλιον τοῦτο εἰς τέλος ἀπεργάζονται.
Τὸ ἐπίπεδο τῶν μαθηματικῶν γνώσεων τῶν λαῶν αὐτῶν πληροφορούμαστε ἀπὸ τὶς ἔρευνες τοῦ Δανοῦ Μαθηματικοῦ O. Neugebauer, ὁ ὁποῖος ἐμελέτησε εἰς βάθος τὶς διασῳθεῖσες βαβυλωνιακὲς πλάκες, ἐνῷ ὁ Λόρδος Rhind ἀνέδειξε τὸν «Πάπυρο τοῦ Ἀχμὲς» τοῦ Βρεταννικοῦ Μουσείου, ἀποτελούμενο ἀπὸ ὀγδόντα προτάσεις ἐμπειριοκρατικῆς μορφῆς (σ.σ. ἀντίστοιχος πάπυρος ποὺ τὸν ἐπιβεβαιώνει φυλάσσεται στὸ Μουσεῖον τῆς Μόσχας)[3].
Ποῦ ἔγκειται, ὅμως, ἡ ἐπιτυχία τῶν Στοιχείων καί, κατ᾽ ἐπέκτασιν τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν καὶ γιατί ἐπηρέασαν σὲ τόσο μεγάλο βαθμὸ τὴν ἐπιστήμη τῶν Μαθηματικῶν; Κατ᾽ ἀρχὰς στὴν δομή τους, στὰ προαναφερθέντα ἐργαλεῖα· οἱ ὅροι (λατ. definitio), τὰ αἰτήματα (postulatum) καὶ οἱ κοινὲς ἔννοιες ἢ λογικὰ ἀξιώματα (communes notationes)[4] ἀποτελοῦν τὴν ὀργανωτικὴ βάση τους, τὶς ἀπαραίτητες προϋποθέσεις γιὰ τὴν ἀπόδειξη τῶν προτάσεων, μὲ κανόνα καὶ διαβήτη, ποὺ θὰ ἐπακολουθήσουν εὐθὺς ἀμέσως.
Τὰ γεωμετρικὰ μέσα ἔχουν καὶ αὐτὰ τὴν σημασία τους, καθὼς κατὰ τὴν ἴδιαν περίοδο ἀναπτύσσονται τὰ ἄλυτα προβλήματα τῆς ἀρχαιότητος: ὁ τετραγωνισμὸς τοῦ κύκλου, ἡ τριχοτόμηση τυχούσης γωνίας, ἡ κατασκευὴ ἑνὸς κανονικοῦ πολυγώνου τυχόντος ἀριθμοῦ πλευρῶν (p2, ὅπου p>2 καὶ πρῶτος) καὶ ὁ διπλασιασμὸς τοῦ ὄγκου τοῦ κύβου· τὸ ἀδύνατον τῆς ἐπιλύσεως τῶν ἀνωτέρω προβλημάτων ἀπεδείχθη προσφάτως, ἀντιστοίχως κατὰ τὰ ἔτη 1882, 1837, 1894 καὶ 1829[5].
Ἂν καὶ οἱ ὁρισμοὶ θεωροῦνται ἐνίοτε ἀσαφεῖς, ὅπως, λ.χ. ὁ πολυσυζητημένος γιὰ τὴν ἀφαιρετικότητά του ὁρισμὸς τοῦ σημείου ὡς μίας ἀμεροῦς στιγμῆς καί, ὁ ἐπίσης ἀσαφὴς ἢ καὶ «σκοτεινός», τῆς εὐθείας ὡς συνόλου σημείων[6], εἶναι ἀναμφισβήτητο ὅτι βοηθοῦν στὴν ἐξέλιξη τῆς διαδικασίας, ἀναλύοντας μὲ συνοπτικὸ τρόπο τὴν ἀκριβῆ σημασία τῶν ἐξεταζομένων ἐννοιῶν, προκειμένου νὰ ἀποφευχθῇ ἡ μερικὴ ἢ ἡ ὁλικὴ παρανόησή τους. Ἄλλως τε, οἱ Πλατωνικοὶ ἀποδέχονταν οἱονεὶ τὴν προβληματικότητα τῶν ἐν λόγῳ ὁρισμῶν καὶ τὶς ἀπέδιδαν, ὅπως καὶ τοῦ ἀντιστοίχου τῆς μονάδος, στὴν ἀντικειμενικὴ δυσκολία, ἡ ὁποία ἐπάγεται ἀπὸ τὴν πρωταρχικότητά τους· ἐπὶ τοῦ θέματος, ὁ Πρόκλος ἀξιολογεῖ τὸν ὁρισμὸν τοῦ σημείου ὡς ἀτελῆ καὶ ἐπισημαίνει: μόνον οὖν τὸ σημεῖον ἀμερὲς κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ὕλην καὶ ἡ μονὰς κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν καὶ ὁ τοῦ σημείου λόγος, εἰ καὶ πρὸς ἄλλον ἀτελής, ἀλλὰ πρός γε τὴν παροῦσαν ἐπιστήμην τέλειος … μόνον γὰρ οὐχὶ λέγει σαφῶς, ὅτι τὸ ἀμερὲς κατ᾽ ἐμὲ σημεῖόν ἐστι καὶ ἡ ἐμὴ ἀρχὴ καὶ τὸ ἁπλούστατον οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ τοῦτο[7].
Τὶς δυσκολίες αὐτὲς ἐπεσήμανε ὁ Πλάτων στὴν Πολιτείαν, προκειμένου νὰ τονίσῃ τὴν ὑπεροχὴ τῆς Διαλεκτικῆς, τῆς κορωνίδος τῶν ἐπιστημῶν, ἔναντι τῶν Μαθηματικῶν (ὑποθέσεων) καὶ τῶν προβληματικῶν ἀρχικῶν, ἐνδιαμέσων καὶ τελικῶν προτάσεων ποὺ τὰ διέπουν (533c): ἕως ἂν ὑποθέσεσι χρώμεναι ταύτας ἀκινήτους ἐῶσι, μὴ δυνάμεναι λόγον διδόναι αὐτῶν. ὧ γὰρ ἀρχὴ μὲν ὃ μὴ οἶδε, τελετὴ δὲ καὶ τὰ μεταξὺ ἐξ οὗ μὴ οἶδε συμπέπλεκται, τίς μηχανὴ τὴν τοιαύτην ὁμολογίαν ποτὲ ἐπιστήμην γενέσθαι; Οἱ ὁρισμοὶ τοῦ σημείου καὶ τῆς εὐθείας δεικνύουν αὐτὴν ἀκριβῶς τὴν ἀδυναμία, ἐξ οὗ καὶ οἱ εὔλογες ἐνστάσεις ποὺ διατυπώνονται κατὰ καιρούς[8].
Ὁ ὁρισμός, ὁ ὁποῖος διατυποῦται ἐν εἴδει κατηγορικῆς προτάσεως, μὲ ὑποκείμενο τὸ ὁριζόμενον (definitium) καὶ κατηγόρημα τὸ ὁρίζον (definiens), θεωρεῖται ὀρθὸς ἐφ᾽ ὅσον: ἐκ γένους καὶ διαφορῶν ἐστιν (Τοπικά, 103b, 15-16), συμπεριλαμβάνει δηλαδὴ τὸ προσεχὲς γένος (genus proximum) καὶ τὴν εἰδοποιὸν διαφοράν (differentia specifica)· τυπικὴ περίπτωση τέτοιων ὁρισμῶν ἀποτελοῦν οἱ ὁρισμοὶ τῶν τριπλεύρων, τετραπλεύρων καὶ πολυπλεύρων: σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα (Στοιχεῖα, I, ὅρ. ιθ΄)[9]· τὰ εὐθύγραμμα σχήματα ἀποτελοῦν τὸ προσεχὲς γένος καὶ οἱ τρεῖς, οἱ τέσσερις ἢ οἱ περισσότερες εὐθεῖες τὴν εἰδοποιὸν διαφορὰν τοῦ τριπλεύρου, τοῦ τετραπλεύρου καὶ τοῦ πολυπλεύρου.
Οἱ ὁρισμοὶ αὐτοί, ἐφ᾽ ὅσον σὲ αὐτοὺς ἀπαριθμοῦνται τὰ γνωρίσματα τοῦ ὁριζομένου, θεωροῦνται οἱονεὶ ἀναλυτικοί, συναντῶνται δὲ κατὰ κόρον, τόσον στὰ Στοιχεῖα ὅσον καὶ στοὺς πλατωνικοὺς διαλόγους, καθὼς καὶ στοὺς ἀμφισβητούμενους Ὅρους, τοὺς ὁποίους συνέγραψαν οἱ ἄμεσοι πλατωνικοὶ διάδοχοι· λ.χ. ὁ ὁρισμὸς τῆς ἐπιφανείας: ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει καὶ τοῦ στερεοῦ στὰ Στοιχεῖα: στερεόν ἐστι τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον ἢ τοῦ σχήματος στὸν Μένωνα (76a): κατὰ γὰρ παντὸς σχήματος τοῦτο λέγω, εἰς ὃ τὸ στερεὸν περαίνει, τοῦτ᾽ εἶναι σχῆμα· ὅπερ ἂν συλλαβὼν εἴποιμι στερεοῦ πέρας σχῆμα εἶναι[10]. Παραδείγματα ὁρισμῶν (κυρίως ἀποτυχημένων) συναντᾶμε, ἐπίσης, στοὺς πλατωνικοὺς διαλόγους, ἰδιαιτέρως σὲ αὐτοὺς τῆς πρώτης περιόδου, στοὺς ὁποίους ζητεῖται ὁ ὁρισμὸς μιᾶς ἐννοίας· λ.χ. οἱ ὁρισμοὶ τοῦ ὁσίου στὸν Εὐθύφρονα, τῆς ἀνδρείας στὸν Λάχητα, οἱ τρεῖς ὁρισμοὶ τῆς ἀρετῆς στὸν Μένωνα καὶ οἱ ἰσάριθμοι τῆς ἐπιστήμης στὸν Θεαίτητον παρουσιάζουν ἐξαιρετικὸ ἐνδιαφέρον, παρὰ τὴν πλημμελῆ τους διατύπωση, ἡ ὁποία ἐπισημαίνεται ἀπὸ τὸν ἴδιον τὸν Σωκράτη καὶ ἀναδεικνύει τὴν στενὴ σχέση μεταξὺ τῶν Μαθηματικῶν καὶ τῆς Φιλοσοφίας, καθὼς καὶ τὴν κοινή τους πορεία. Ἡ προτροπὴ τοῦ Σωκράτους στὸν νεαρὸ Μαθηματικὸ νὰ σκεφθῇ ἀλλοιῶς (ὅπως ὁ, ὡσεὶ παρὼν στὸν διάλογο, Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος) γιὰ νὰ διατυπώσῃ ἕναν ὀρθὸν καὶ ἀποδεκτὸν ὁρισμὸν τῆς ἐπιστήμης: ἄλλῃ δὴ σκεπτέον … ὡς ὅ τε σὸς καὶ ὁ Θεοδώρου λόγος (Θεαίτητος, 163a), δεικνύει τὴν ἐπιδιωκομένη συσχέτιση.
Ἐν ἀντιθέσει πρὸς τοὺς ὁρισμούς -ἡ διατύπωση ἄλλων ὅρων συνεχίζεται στὰ ἑπόμενα βιβλία, καθὼς ἐπιβάλλεται νὰ διασαφῆται τὸ περιεχόμενο τῶν ἑκάστοτε νέων μαθηματικῶν ἐννοιῶν ποὺ εἰσάγει ὁ Εὐκλείδης- ἀξιώματα (αἰτήματα καὶ κοιναὶ ἔννοιαι) διατυπώνονται μόνον στὴν εἰσαγωγὴ τοῦ πρώτου βιβλίου, ὑποδηλώνουν δὲ «τὶς ἀναπόδεικτες προτάσεις, δηλαδὴ γραμματικὲς δομὲς ποὺ ἔχουν δημιουργηθῆ ἀπὸ τὴν συνένωση πρωταρχικῶν ἐννοιῶν καὶ λογικῶν ὅρων, μὲ σκοπὸ νὰ ἀποτελέσουν τὸ θεμέλιο τῆς παραγωγικῆς θεωρίας»[11]. Στὸ εὔλογο ἐρώτημα περὶ τῆς μεταξύ των διαφορᾶς, οἱ ἀπαντήσεις διΐστανται· τὰ μὴ προφανῆ αἰτήματα ἰσχύουν μόνον γιὰ μία δομή, λ.χ. τὴν Γεωμετρία, ἐξ οὗ καὶ ἡ ἐναλλακτικὴ γραφὴ γεωμετρικὰ ἀξιώματα ἢ γιὰ τὴν ὁποιανδήποτε ἐπιστήμη γιὰ τὴν ὁποίαν διατυπώνονται, ἐνῷ οἱ κοινὲς ἔννοιες ἀποτελοῦν «προτάσεις, κοινὲς γιὰ ὅλες τὶς δομές»[12] (λογικὰ ἀξιώματα), τοῦ τελευταίου, τοῦ ἐνάτου, περὶ τῶν εὐθειῶν καὶ τοῦ χωρίου, ἐξαιρουμένου[13].
Ὁ Πρόκλος, ἂν καὶ δὲν ἀπορρίπτει τὸν διαχωρισμὸ αὐτὸ καὶ διαβλέποντας τὴν δυνατότητα πραγματοποιήσεως ἐνίων κατασκευῶν ἀπὸ τὴν γνώση καὶ τὴν χρήση τῶν αἰτημάτων[14], θεωρεῖ ὅτι ἡ οὐσιώδης διαφορά τους ἔγκειται στὴν κατασκευὴ καὶ στὴν γνώση (διὰ τοῦ αἰτήματος κατασκευάζομε, ἐνῷ διὰ τοῦ ἀξιώματος γνωρίζομε ἀπολύτως): γνῶσις ἄρα ἐναργὴς καὶ ἀναπόδεικτος καὶ λῆψις ἀκατάσκευος διορίζουσι τά τε αἰτήματα καὶ τὰ ἀξιώματα[15].
Ἡ ἐπισήμανση αὐτὴ τοῦ Πρόκλου δὲν πρέπει νὰ θεωρηθῇ ἐσφαλμένη ἢ ἄνευ σημασίας, τοὐναντίον· στὸ πρῶτο, στὸ δεύτερο, στὸ τρίτο καὶ στὸ πέμπτο αἴτημα ὑπονοοῦνται κατασκευαστικὲς πράξεις, καθὼς ὑποδεικνύουν πραγματοποιήσιμες ἐνέργειες, ἐξ οὗ καὶ ἐκφράζονται διὰ τῶν ἐνεργητικῶν ἀπαρεμφάτων: ἀγαγεῖν, ἐκβαλεῖν, γράφεσθαι καὶ ἐκβαλλομένας συμπίπτειν περὶ τῶν δύο εὐθειῶν, ἐν ἀντιθέσει πρὸς τὸ προαναφερθὲν τέταρτο, τὸ ὁποῖο ἐκφράζει μία γενικὴ ἀλήθεια γιὰ τὴν ἰσότητα τῶν ὀρθῶν γωνιῶν καὶ ποὺ θὰ μποροῦσε νὰ ἐκληφθῇ ὡς συνέπεια τοῦ δεκάτου ὁρισμοῦ ἢ ὡς κοινὴ ἔννοια[16].
Ὅσον ἀφορᾷ στὸ περιβόητο αἴτημα ε´, τοῦ ὁποίου ἡ αὐθεντικὴ διατύπωση εἶναι: καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ᾽ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες καὶ ὄχι ἡ ἰσοδύναμη τοῦ Playfair πού, κακῶς, ἔχει ἐπικρατήσει: «ἐὰν εἰς ἐπίπεδον ἐπιφάνειαν ὑπάρχῃ εὐθεῖα γραμμή, ἐκ σημείου ἐκτὸς τῆς εὐθείας, ἄγεται πρὸς αὐτὴν μία καὶ μόνη παράλληλος», ἡ ἀμφισβήτηση τῆς ὁποίας (καμμία ἢ πολλές) ὡδήγησε κατὰ τὸν 19ο αἰῶνα στὴν διατύπωση ἐναλλακτικῶν Γεωμετριῶν, τῆς Ἐλλειπτικῆς καὶ τῆς Ὑπερβολικῆς, ἀπὸ τὸν Γκάους, τὸν Ρῆμαν καὶ τὸν Λομπατσέφσκυ. Ὁ προβληματισμὸς ποὺ προκαλεῖ τὸ ἐν λόγῳ αἴτημα, ἔγκειται στὸ ὅτι ἀφ᾽ ἑνὸς ἀναφέρεται σὲ εὐθεῖες μὴ παράλληλες (συμπίπτειν), προσεγγίζει δηλαδὴ τὸ πρόβλημα κατὰ τρόπον ἀρνητικό, ἀφ᾽ ἑτέρου εἰσάγει τὴν ἔννοιαν τοῦ ἀπείρου (ἐκβαλλομένας ἐπ᾽ ἄπειρον), τοῦ ὁποίου τὸ περιεχόμενο ἔχει προκαθορισθῆ στὸν Παρμενίδην καὶ ὄχι στοὺς ὅρους τῶν Στοιχείων[17].
Σημειωτέον ὅτι στὴν πρότασιν κζ´, ὁ Εὐκλείδης ἀποδεικνύει μίαν φαινομενικῶς ὅμοια πρόταση πρὸς τὸ ἀνωτέρω ἀξίωμα: ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλας ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι· εἶναι σαφὲς ὅτι πρόκειται περὶ ἄλλης προτάσεως, στὴν ὁποίαν δίδεται μία προϋπόθεση ἰσότητος (τῶν ἐναλλὰξ γωνιῶν) καὶ ἀποδεικνύεται διὰ τῆς εἰς ἄτοπον Ἀπαγωγῆς (ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον), ὅτι οἱ δύο εὐθεῖες (ΑΒ) καὶ (ΓΔ) δὲν συμπίπτουν οὔτε πρὸς τὰ μέρη τῶν Α καὶ Γ οὔτε πρὸς τὰ μέρη τῶν Β καὶ Δ.
Ὅπως προανεφέρθη, ὁ Πλάτων στὸν Παρμενίδην ἔχει ἤδη ὁρίσει τὴν ἔννοιαν τοῦ ἀπείρου· ὁ ἱδρυτὴς τῆς Ἐλεατικῆς σχολῆς θεμελιώνει τὸ ἄπειρον ἐξ ἐπόψεως φιλοσοφικῆς, καθορίζει δὲ τὸ περιεχόμενό του ὡς ἑξῆς: ἄπειρον ἄρα τὸ ἔν, εἰ μήτε ἀρχὴν μήτε τελευτὴν ἔχει (137d). Τὴν λεπτὴ διάκριση μεταξὺ δυνάμει καὶ ἐνεργείᾳ ἀπείρου θὰ ὑποτυπώσῃ ὁ Ἀριστοτέλης: κατ᾽ ἐνέργειαν οὐκ ἔστιν ἄπειρον … διαιρέσει δ᾽ ἐστὶν καὶ λείπεται οὖν δυνάμει εἶναι τὸ ἄπειρον (Περὶ Φύσεως, 206a, 16-18)· ὁ τεμαχισμὸς μιᾶς ράβδου μήκους ἑνὸς μέτρου ἐπ᾽ ἄπειρον (1/2, 1/4, 1/8 κ.ο.κ.) καὶ ἡ δυνατότης ἐπανασυνδέσεως τῶν τεμαχίων αὐτῶν ποὺ θὰ μποροῦσαν νὰ δημιουργήσουν καὶ πάλι τὴν ράβδο τοῦ ἑνὸς μέτρου, ἀποτελοῦν τὸ δυνάμει ἄπειρον, ἐνῷ ἡ ἄπειρη ἀρίθμηση λ.χ. τῶν φυσικῶν ἀριθμῶν (τὸ σύνολο Ν*) τὸ ἐνεργείᾳ: ἀριθμὸς οὐκ ἔσται ἄπειρος (Αὐτόθι, 12-13)[18].
Ὁ Δ. Ἀναπολιτάνος ἀναζητεῖ ἀντίστοιχα αἰτήματα ἢ συνθῆκες στὰ γνωστικὰ ἀντικείμενα τοῦ φιλοσοφικοῦ πλατωνισμοῦ (σ.σ. τὰ Μαθηματικὰ καὶ τὶς Ἰδέες), γιὰ τὰ ὁποῖα θεωρεῖ ὅτι: α) ἡ ὕπαρξή τους δὲν ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὴν ὕπαρξη γνώστη τους, β) πρέπει νὰ εἶναι ἀνεξάρτητα ἀπὸ τὴν δυνατότητα καὶ τὸν τρόπο μὲ τὸν ὁποῖο μποροῦν νὰ γνωσθοῦν, γ) θὰ πρέπῃ νὰ παραμένουν ἀναλλοίωτα καὶ νὰ μὴ ὑπόκεινται σὲ ἀλλαγή (ἐνν. χωροχρονικὴ μεταβολή) καὶ δ) νὰ μποροῦν νὰ περιγραφοῦν μὲ ἀκρίβεια[19]. Τέτοιες περιπτώσεις ἀναποδείκτων συμφωνιῶν, ὁμολογημάτων ἢ προϋποθέσεων γιὰ τὴν συζήτηση ποὺ θὰ ἐπακολουθήσῃ καὶ προϋποθέτει μία συμπεφωνημένη βάση, ἀποτελοῦν τὰ τρία ὁμολογήματα τοῦ Θεαιτήτου, οἱ τρεῖς προϋποθέσεις τοῦ Τιμαίου, τὰ ὁμολογήματα ποὺ προτάσσονται πρὸ τῆς ἐξετάσεως τῶν ἀποδείξεων περὶ τῆς ἀθανασίας τῆς ψυχῆς στὸν Φαίδωνα κ.λπ.
Ὑπενθυμίζεται ὅτι, στὸν Θεαίτητον, ὁ Σωκράτης διατυπώνει τρία ἀξιώματα-ὁμολογήματα, γιὰ τὰ ὁποῖα ἀπαιτεῖται ἡ συμφωνία (ὁμολογία) τοῦ νεαροῦ Μαθηματικοῦ τῆς Ἀκαδημείας. Μεταξὺ ἀξιώματος καὶ ὁμολογήματος ὑφίσταται μία σημαντικὴ ἐξωτερικὴ διαφορὰ καὶ μία πιὸ ἐσωτερικὴ καὶ οὐσιώδης. Ἡ ἐξωτερικὴ ἀφορᾷ στὸν τρόπο διὰ τοῦ ὁποίου ἐκφράζονται· στὸν μὲν προφορικὸ λόγο καί, λόγῳ τῆς ἀπαιτουμένης συμφωνίας τῶν παρισταμένων, οἱ ἀρχὲς αὐτὲς καλοῦνται ὁμολογήματα, στὸ δὲ γραπτὸ κείμενο, στὸ ὁποῖο ἡ συμφωνία τῶν ἀναγνωστῶν παραμένει σὲ ἐκκρεμότητα ἐς ἀεί, ἀξιώματα[20].
Ἡ ἐσωτερικὴ διαφορὰ τῶν δύο ἀρχῶν ἔγκειται στὴν προφάνειά τους· τὰ ἀξιώματα εἶναι προφανῆ, οὐδέτερα καὶ ἀναπόδεικτα: ταῦτ’ ἐστὶ τὰ κατὰ πάντας ἀναπόδεικτα καλούμενα ἀξιώματα, καθ’ ὅσον ὑπὸ πάντων οὕτως ἔχειν ἀξιοῦται καὶ διαμφισβητεῖ καὶ πρὸς ταῦτα οὐδείς[21], ἐνῷ τὰ ὁμολογήματα ἐνέχουν ἐνίοτε χροιὰ ἰδεολογικὴ καὶ δὲν εἶναι πάντοτε προφανῆ.
Ἡ ὁμοφωνία ἐπὶ τῶν ὁμολογημάτων θεωρεῖται ἀπαραίτητη ἀπὸ τὸν Σωκράτη, γιὰ δύο λόγους: ἀφ’ ἑνὸς γιὰ νὰ τονίσῃ ὅτι ἕνα τυπικὸ σύστημα τῆς Διαλεκτικῆς (ὅπως καὶ τῶν Μαθηματικῶν) εἶναι σχεδόν πλῆρες, μόνον ἐφ’ ὅσον ἐκκινῇ ἀπὸ τὶς προσυμφωνηθεῖσες πρῶτες ἀρχές, ἀφ’ ἑτέρου, διότι τὰ τρία αὐτὰ ὁμολογήματα ἀποτελοῦν τὴν βάση γιὰ τὴν ἀπόρριψη τῆς ταὐτίσεως, μερικῆς ἢ ὁλικῆς, ἐπιστήμης καὶ αἰσθήσεως-ἀντιλήψεως, ἡ ὁποία ἑδράζεται στὸ δόγμα τοῦ σοφιστῆ Πρωταγόρα: πάντων χρημάτων μέτρον ἄνθρωπος, τῶν μὲν ὄντων ὡς ἔστι, τῶν δὲ μὴ ὄντων ὡς οὐκ ἔστιν (Ἀλήθεια ἢ Καταβαλλόντες, Β, 1, D-K.)
Τὸ πρῶτο ὁμολόγημα ἀποτελεῖ μίαν ἐκσυγχρονισμένη διατύπωση τῆς λογικῆς ἀρχῆς τῆς ταὐτότητος, προσηρμοσμένη ὅμως ἀποκλειστικῶς στὸν αἰσθητὸ κόσμο, τὴν ἀνυπαρξία μεταβολῆς ὁποιουδήποτε φυσικοῦ μεγέθους ὡς πρὸς τὸν ἑαυτό του: μηδὲν ἂν μεῖζον μηδὲ ἔλαττον γενέσθαι μήτε ὄγκῳ μήτε ἀριθμῷ, ἔως ἴσον εἴη αὐτὸ ἑαυτῷ· στὸ δεύτερο ὑποτυπώνονται σὲ μία πρώϊμη, ἂν καὶ ὄχι τόσο ἐπεξεργασμένη, μορφὴ οἱ τρεῖς πρῶτες κοινὲς ἔννοιες τῶν Στοιχείων, οἱ ὁποῖες ἔχουν καθολικὴ ἰσχὺ γιὰ ὅλα τὰ μεγέθη: ὧ μήτε προστιθοῖτο μήτε ἀφαιροῖτο, τοῦτο μήτε αὐξάνεσθαί ποτε μήτε φθίνειν, ἀεὶ δὲ ἴσον εἶναι· ὑπενθυμίζεται, ὅτι οἱ τρεῖς πρῶτες κοινὲς ἔννοιες εἶναι οἱ ἑξῆς: α) τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα, β) ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα καὶ γ) ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα (Στοιχεῖα, I, κ. ἔνν., α΄, β´καὶ γ´).
Τέλος, στὸ τρίτο ποὺ ἀφορᾷ στὸ γιγνόμενον καὶ στὸν κόσμο τοῦ γίγνεσθαι τῶν Ἐλεατῶν, τοῦ Σοφιστῆ καὶ τοῦ Παρμενίδη, ὁ Σωκράτης καλεῖ τὸν νεαρὸ μαθητή του νὰ συμφωνήσῃ στὸ ὅτι, τὸ ὄν οὔτε προϋπῆρξε οὔτε θὰ ὑπάρξῃ στὸ μέλλον, διότι ἐὰν ὑπάρξῃ τώρα ἢ στὸ μέλλον, ὑπάρχει ὡς ἕτερόν τι: ὃ μὴ πρότερον ἦν, ὕστερον ἀλλὰ τοῦτο εἶναι ἄνευ τοῦ γενέσθαι καὶ γίγνεσθαι ἀδύνατον (Θεαίτητος, 155a-b).
Οἱ μέθοδοι τῶν ἀποδείξεων ποικίλλουν· ἡ Ἀνάλυσις καὶ ἡ Σύνθεσις, ἡ Ἀπαγωγὴ εἰς ἄτοπον καὶ ἡ τῆς Τελείας Ἐπαγωγῆς κυριαρχοῦν καὶ προσδίδουν στὰ Στοιχεῖα ἀπολυτότητα καὶ κῦρος. Οἱ δύο πρῶτες μέθοδοι ἀκολουθοῦν σὲ ἀντίστροφη σειρά· ἡ μὲν Ἀνάλυσις ἀποδέχεται ὡς ὀρθὲς τὶς δεδομένες προτάσεις, λ.χ. τὴν (δ1) καὶ τὴν ζητουμένη (ζ) καὶ ἐπαληθεύει τὴν μία ἐκ τῶν δύο δεδομένων (δ2), ἐνῷ ἡ Σύνθεσις δέχεται ὡς ὀρθὲς τὶς δεδομένες (δ1) καὶ (δ2) καὶ ἀποδεικνύει τὴν ζητουμένη (ζ). Οἱ μέθοδοι αὐτές, ἢ ἐὰν εἰδωθῇ ὡς διπλῆ ὅπως θὰ δοῦμε κατωτέρω, ἡ μέθοδος τῆς Ἀναλύσεως καὶ τῆς Συνθέσεως, συνίσταται σὲ ἕξι, πλὴν ὅμως ὄχι πάντοτε ἀπαραίτητα, διακριτὰ μέρη: τὴν πρότασιν, δηλαδὴ τὴν διατύπωση τῆς ἀποδεικτέας προτάσεως, τὴν ἔκθεσιν, τὴν δήλωση τῶν δεδομένων, τὸν διορισμόν, τὴν κατασκευήν, τὴν ἐπαναδιατύπωση ἐν σχέσει πρὸς τὰ δεδομένα καὶ τὶς συνθῆκες ἐπιλυσιμότητος, τὴν ἀπόδειξιν, τὴν διαδικασία κατὰ τὴν ὁποίαν ἐπαληθεύεται τὸ ζητούμενον καὶ τὸ συμπέρασμα, στὸ ὁποῖο ἐπαναδιατυπώνεται ἡ ἀποδεδειγμένη πλέον πρότασις[22]· Ὁ Εὐκλείδης διατυπώνει τὴν ἑξῆς πρόταση: ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας (Στοιχεῖα, ΧΙΙΙ, πρ. β΄). Αὐτὴν καὶ ἄλλες τέσσερις τοῦ ἰδίου βιβλίου, ὁ ἴδιος Σχολιαστὴς ἀποδεικνύει καὶ μὲ τὶς δύο μεθόδους, οἱ ὁποῖες παρατίθενται στὸ Παράρτημα τοῦ ἰδίου βιβλίου[23]. Ἡ πρόταση αὐτὴ μπορεῖ νὰ μεταγραφῇ ὡς ἑξῆς: ἐὰν γιὰ τὰ σημεῖα A, B, C καὶ D τῆς εὐθείας τοῦ σχήματος ἰσχύῃ (δ1): (ΑC)2=5·(AB)2 καὶ (δ2): 2·(ΑΒ)=(ΒD), νὰ ἀποδειχθῇ ὅτι (ζ): (CD)·(AD)= (BC)2 καὶ (BC)>(CD).
Ἡ Ἀπαγωγὴ εἰς ἄτοπον συνίσταται στὸν ἔλεγχο τοῦ ψεύδους τῆς ἀντιφατικῆς, πρὸς τὴν ἀποδεικτέα, προτάσεως· κατασκευάζομε ἕναν ὑποθετικὸ συλλογισμό, ἀρνούμενοι τὴν ἀλήθεια τῆς ἀποδεικτέας (ἐν προκειμένῳ μεικτὸ συλλογισμό, διότι μόνον ἡ μείζων προκειμένη εἶναι ὑποθετική, ἡ ἐλάσσων καὶ τὸ συμπέρασμα εἶναι κατηγορικές) καὶ μέσῳ μιᾶς ἀκολουθίας συλλογισμῶν καταλήγομε σὲ συμπέρασμα, τὸ ὁποῖο ἀντιβαίνει πρὸς τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες. Ἐὰν ὑποτεθῇ, ὅτι ζητεῖται ἡ ἀπόδειξη μίας προτάσεως (Α), δεχόμαστε ὅτι αὐτὴ εἶναι ψευδὴς καὶ ἀληθὴς ἡ ἀντιφατική της, ἡ (~Α). Ὁ Ἀριστοτέλης στὰ Ἀναλυτικῶν Πρότερα (41a, 23-28 καὶ 30-32) περιέγραψε τὸν μηχανισμὸ τῆς μεθόδου, ὡς ἑξῆς: πάντες γὰρ οἱ διὰ τοῦ ἀδυνάτου περαίνοντες τὸ μὲν ψεῦδος συλλογίζονται, τὸ δὲ ἐξ ἀρχῆς ἐξ ὑποθέσεως δεικνύουσιν, ὅταν ἀδύνατόν τι συμβαίνῃ τῆς ἀντιφάσεως τεθείσης, οἷον ὅτι ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος διὰ τὸ γίγνεσθαι τὰ περιττὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συμμέτρου τεθείσης… τοῦτο γὰρ ἦν τὸ διὰ τοῦ ἀδυνάτου συλλογίσασθαι, τὸ δεῖξαί τι ἀδύνατον διὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς ὑπόθεσιν. Τέλος, τὴν Τελεία Ἐπαγωγὴ χρησιμοποιεῖ στὶς προτάσεις γ´ γιὰ τὸν μέγιστο κοινὸ διαιρέτη (τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν), ιδ´, κζ´ καὶ λε´ γιὰ τὸ ἐλάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο (ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσι καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπ᾽ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει) τοῦ VII βιβλίου, στὴν ιγ´ τοῦ VIIΙ καὶ στήν, περιώνυμη περὶ τῆς ἀπειρίας τῶν πρώτων ἀριθμῶν, κ´τοῦ ΙΧ (οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν)· στὴν τελευταία πρόταση ἐπιτυγχάνεται ὁ συνδυασμὸς τῶν μεθόδων τῆς Τελείας Ἐπαγωγῆς καὶ τῆς Ἀπαγωγῆς εἰς ἄτοπον, καθὼς ὁ Εὐκλείδης ὑποθέτει ὅτι τῶν πρώτων Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί.
Τὸ κλῖμα τῆς ἐποχῆς καὶ τὴν συνεισφορὰ τῶν Στοιχείων στὸν ἑλληνιστικὸ κόσμο μᾶς τὸ μεταφέρει R. Osserman, ὁ ὁποῖος ἀναζητεῖ τὰ αἴτια τῆς γοητείας ποὺ ἀσκοῦν ἀκόμη καὶ σήμερα, ἐπισημαίνει δὲ ὅτι: α) χαρακτηρίζονται ἀπὸ τὴν αἴσθηση τῆς βεβαιότητας –σὲ ἕναν κόσμο γεμᾶτο ἀπὸ παράλογες πεποιθήσεις καὶ ἀναξιόπιστες εἰκοτολογίες, οἱ προτάσεις τῶν Στοιχείων ἀποδεικνύονταν ὀρθὲς πέραν πάσης ἀμφιβολίας. μολονότι ὡρισμένα χαρακτηριστικὰ τόσο τῶν παραδοχῶν ὅσο καὶ τῶν μεθόδων συλλογισμοῦ ποὺ ἐχρησιμοποίησε ὁ Εὐκλείδης ἔχουν τεθῆ ὑπὸ ἀμφισβήτηση στὸ πέρασμα τῶν αἰώνων, τὸ ἐκπληκτικὸ εἶναι ὅτι ἔπειτα ἀπὸ δύο χιλιετίες κανεὶς δὲν ἔχει ἀνακαλύψει ἕνα πραγματικὸ λάθος στὰ Στοιχεῖα –δηλαδή, μία πρόταση ποὺ δὲν προκύπτει λογικὰ ἀπὸ τὶς δεδομένες παραδοχές, β) ἡ ἰσχὺς τῶν Στοιχείων ἐκπηγάζει ἀπὸ τὴν μέθοδο· ὁ Εὐκλείδης ξεκινῶντας ἀπὸ ἐλάχιστες, ρητὰ διατυπωμένες παραδοχὲς παρήγαγε μία ἐκπληκτικὴ σειρὰ συνεπειῶν, γ) ἡ εὐστροφία, μὲ τὴν ὁποίαν ἐπιτυγχάνονται οἱ ἀποδείξεις· μία εὐστροφία, ἡ ὁποία δὲν διαφέρει καὶ πολὺ ἀπὸ ἐκείνη ποὺ καθιστᾷ συναρπαστικὴ μία καλογραμμένη ἀστυνομικὴ ἱστορία καὶ δ) τὰ ἀντικείμενα συλλογισμοῦ στὰ πρῶτα βιβλία τῶν Στοιχείων εἶναι γεωμετρικὰ σχήματα, τὰ ὁποῖα μᾶς ἑλκύουν αἰσθητικὰ ἀφ’ ἑαυτῶν, πέρα ἀπὸ ὁποιονδήποτε τυπικὸ συλλογισμό, ποὺ θὰ μποροῦσε νὰ ἐφαρμοσθῇ σὲ αὐτά[24].
Αὐτὴν τὴν «αἴσθηση βεβαιότητος» ποὺ ἀποπνέουν τὰ Στοιχεῖα καὶ τὴν χαρίζουν γενναιόδωρα «σὲ ἕναν κόσμο γεμᾶτο ἀπὸ παράλογες πεποιθήσεις καὶ ἀναξιόπιστες εἰκοτολογίες», προσπάθησαν νὰ ἀμφισβητήσουν δύο μεγάλοι Μαθηματικοὶ τοῦ 20οῦ αἰῶνος· ἀφ᾽ ἑνὸς ὁ D. Hilbert (1862-1943), ὁ ὁποῖος ὑποκατέστησε τὰ σημεῖα, τὶς εὐθεῖες καὶ τὰ ἐπίπεδα τοῦ Εὐκλείδη, ἀφοῦ τὰ ἐχρησιμοποίησε καταχρηστικῶς καὶ ἀοριστολογικῶς[25], μὲ τὰ κεφαλαῖα καὶ τὰ μικρὰ γράμματα τῆς λατινικῆς καὶ τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀφ᾽ ἑτέρου ὁ J. Dieudonné (1906-1992) πρὸ ἑξηκονταετίας (1959) στὸ περιβόητο Συνέδριο τῆς Royaumont, ὅπου ἀπαίτησε: «νὰ φύγῃ ὁ Εὐκλείδης». Δυστυχῶς, οἱ συνέπειες τῆς φυγῆς αὐτῆς, ἀκόμη καὶ ἀπὸ τὴν χώρα τοῦ Στοιχειωτῆ, στὴν ὁποίαν θἄπρεπε νὰ ἀπαιτῆται ἡ ἄμεση ἐπιστροφή του, εἶναι σήμερα μετρήσιμες. Οἱ μελέτες τῆς Ἀρχῆς Διασφαλίσεως τῆς Ποιότητος στὴν Πρωτοβάθμια καὶ στὴν Δευτεροβάθμια Ἐκπαίδευση περὶ λειτουργικοῦ ἀναλφαβητισμοῦ τῶν Ἑλληνοπαίδων κρούουν τὸν κώδωνα τοῦ κινδύνου καὶ προειδοποιοῦν τοὺς ἰθύνοντες. Δὲν χρειάζεται νὰ ἐθελοτυφλοῦμε, καθὼς ἀποτελεῖ κοινὴ ὁμολογία, ὅτι οἱ σπουδαιότερες παρακαταθῆκες τῆς ἀνθρωπιστικῆς παιδείας ποὺ μᾶς κατέλειπαν οἱ πρόγονοί μας, δηλαδὴ ὁ συλλογισμὸς καὶ ὁ ἀποδεικτικὸς λόγος ἀποτελοῦν τὶς ἀναγκαῖες συνθῆκες γιὰ μία πιὸ οὐσιαστικὴ φυγή· αὐτὴν ἀπὸ τὸ ἀδέξοδο στὸ ὁποῖο βρισκόμαστε.
[1]. ΠΡΟΚΛΟΥ, Εἰς Πρῶτον τῶν Εὐκλείδου Στοιχείων, 68, 20-23· ἡ παρατήρηση τοῦ Πρόκλου ποὺ ἀφορᾷ στὰ πλατωνικὰ σχήματα (στερεά) ὡς τὸ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος (σκοπὸ τῶν Στοιχείων) γενικῶς δὲν στοιχειοθετεῖται.
[2]. Πβ. ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ, Στοιχεῖα, I, ὅρ. ιζ΄: διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον, ὁ ὁποῖος ἀποτελεῖ τὴν πιὸ ἐνδεικτικὴ περίπτωση ὁρισμοῦ καθολικῆς ἐννοίας.
[3]. Πβ. O. NEUGEBAUER (2003). Οἱ Θετικὲς Ἐπιστῆμες στὴν Ἀρχαιότητα, σσ. 112-115.
[4]. Πβ. Γ. ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗ, Θέματα ἀπὸ τὴν Ἱστορία τῶν Μαθηματικῶν, σσ. 89-92 καὶ Χ. ΦΙΛΗ, Οἱ Ἀρχαιοελληνικὲς Καταβολὲς τῶν Συγχρόνων Μαθηματικῶν, σ. 46.
[5]. Μ.Α. ΜΠΡΙΚΑ, Τὰ Περίφημα Ἄλυτα Γεωμετρικὰ Προβλήματα τῆς Ἀρχαιότητος, σσ. 8-9, 11-13, 130 καὶ 133-135.
[6]. ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ, μν. ἔργ., I, ὅρ. α΄ καὶ δ´: σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθὲν καὶ εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς εφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται· πβ. ἐπ. Χ. ΦΙΛΗ, μν. ἔργ., σσ. 39-43.
[7]. ΠΡΟΚΛΟΥ, μν. ἔργ., 93, 18-22 καὶ 94, 1-8· πβ. ἐπ. B. LEVI, Διαβάζοντας τὸν Εὐκλείδη, σσ. 108-109.
[8]. Πβ. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ. «Μαθηματικὰ καὶ Φιλοσοφία», σ. 24.
[9]. Πβ. Θ. ΒΟΡΕΑ, Λογική, σσ. 168-169 καὶ Ν.Ρ. WHITE, Ὁ Πλάτων γιὰ τὴν Γνώση καὶ τὴν Πραγματικότητα, σσ. 59-63.
[10]. ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ, μν. ἔργ., I, ὅρ. ε΄καὶ ΧΙ, ὅρ. α´. Ὑπενθυμίζεται, ὅτι ὁ ἀντίστοιχος ὁρισμὸς τοῦ σχήματος στὰ Στοιχεῖα (I, ὅρ. ιδ´) διατυποῦται ὡς ἑξῆς: σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
[11]. B. LEVI, μν. ἔργ., σ. 105.
[12]. I.G. BASMAKOVA, Ἱστορία τῶν Ἀρχαίων Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, σ. 9.
[13]. Πβ. S. HEATH, μν. ἔργ., σσ. 416 καὶ 457· ἡ ἀντιστοίχισή τους σὲ γεωμετρικὰ καὶ λογικὰ ἀξιώματα στὸ Χ. ΦΙΛΗ, μν. ἔργ., σ. 47. Περὶ «μὴ ἐνδεδειγμένης ἑρμηνείας» ὁμιλεῖ ὁ B. LEVI, μν. ἔργ., σ. 108.
[14]. Πβ. Χ. ΦΙΛΗ, μν. ἔργ., σ. 44, στὸ ὁποῖο ἐπισημαίνεται ἡ συνάφεια τοῦ αἰτήματος δ΄: πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι καὶ τοῦ ὅρου ι΄: περὶ τῶν ἐφεξῆς ἴσων γωνιῶν.
[15]. ΠΡΟΚΛΟΥ, μν. ἔργ., 179, 9-11.
[16]. Πβ. B. LEVI, μν. ἔργ., σσ. 107-108 καὶ 117-118.
[17]. Πβ. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ. «Τὰ Μαθηματικὰ τῶν Ἀρχαίων Ἑλλήνων», σσ. 26-27, Ι.Γ. ΙΩΑΝΝΙΔΗ, Ἐπίπεδος Γεωμετρία, σ. 41 καὶ D. BERLINSKI, Ὁ Βασιληᾶς τοῦ Ἀπείρου Χώρου, σσ. 65-67.
[18]. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ. «Τὰ Μαθηματικὰ εἰς τὴν Φιλοσοφίαν», σσ. 19-20.
[19]. Δ. ΑΝΑΠΟΛΙΤΑΝΟΥ, Ἡ Φιλοσοφία τῶν Μαθηματικῶν, σ. 30.
[20]. Πβ. Α. SZABO, Ἀπαρχαὶ τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, σσ. 396-400 καὶ Β. ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, «Περὶ τῶν Προευκλειδείων Στοιχείων Γεωμετρίας», σ. 161.
[21]. ΠΡΟΚΛΟΥ, Εἰς τὸ πρῶτον τῶν Εὐκλείδου Στοιχείων, 193, 15-18.
[22]. T.L. HEATH, Ἱστορία τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, σ. 454, Β. ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, μν. ἔργ., σσ. 154-157, ὅπου ἐπισημαίνεται ἡ μαρτυρία τοῦ Εὐδήμου περὶ τῆς ἀνακαλύψεως τοῦ διορισμοῦ ἀπὸ τὸν Λέοντα τὸν Βυζάντιο καὶ Β. ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, Μαθηματικὰ καὶ Τεχνολογία στὴν Ἀρχαία Ἑλλάδα, σσ. 133-154.
[23]. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ, Στερεομετρία, Στοιχείων Βιβλία ΧΙ, ΧΙΙ καὶ ΧΙΙΙ, Παράρτημα Ι, σσ. 202-209.
[24]. R. OSSERMAN, Ἡ ποίηση τοῦ Σύμπαντος, σ. 22.
[25]. D. HILBERT, Θεμέλια τῆς Γεωμετρίας, σ. 131 καὶ Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ, «Ὁ Ἀριστοτέλης καὶ αἱ ἀρχαὶ τῶν Μαθηματικῶν», σσ. 29-30.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
ΑΝΑΠΟΛΙΤΑΝΟΥ, Δ.(2005). Εἰσαγωγὴ στὴν Φιλοσοφία τῶν Μαθηματικῶν, Νεφέλη, Ἀθῆναι.
ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ, Φ. (1971). Φιλοσοφία τῶν Μαθηματικῶν, ΤΕΕ, Ἀθῆναι.
ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ, Φ. (1977). «Φιλοσοφικὴ Θεώρηση τῆς Μαθηματικῆς Ἐπιστήμης ὡς Ἀποδεικτικῆς», στὴν Φιλοσοφία, 7, Ἀθῆναι.
BASMAKOVA, G.Ι. (2014). Ἱστορία τῶν Ἀρχαίων Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, μτφρ. Ι.Μ. Βανδουλάκης, Παπασωτηρίου, Ἀθῆναι.
ΒΟΡΕΑ, Θ. (1972). Λογική, ΟΕΔΒ, Ἀθῆναι.
HEATH, L. Sir T. (2001). Ἱστορία τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, μτφρ. Ἀθ. Ἀγγελῆ, Ἑλ. Βλάμου, Θ. Γραμμένου καὶ Ἀνδρ. Σπανοῦ, τ. Ι, ΚΕΕΠΕΚ, Ἀθῆναι.
ΘΩΜΑΪΔΗ, Γ.-ΠΟΥΛΟΥ, Α. (2006). Διδακτικὴ τῆς Εὐκλείδειας Γεωμετρίας, Ζήτης, Θεσσαλονίκη.
ΙΩΑΝΝΙΔΗ, Γ.Ι. (1970). Ἐπίπεδος Γεωμετρία, Π. Γρηγορόπουλος, Ἀθῆναι.
HILBERT, D. (1995). Θεμέλια τῆς Γεωμετρίας, μτφρ. Στ. Παπαδόπουλος, Τροχαλία, Ἀθῆναι.
ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, Β. (2009). «Περὶ τῶν Προευκλειδείων Στοιχείων Γεωμετρίας», στὸ Στιγμὲς καὶ Διάρκειες, Νεφέλη, Ἀθῆναι.
ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, Β. (20019). Μαθηματικὰ καὶ Τεχνολογία στὴν Ἀρχαία Ἑλλάδα, Λιβάνης, Ἀθῆναι.
LEVI, B. (2000). Leyendo a Eyclides, Gr. Translation A. Michaelidis, Patakis, Athens, 2014.
ΜΠΡΙΚΑ, Α.Μ. (1970). Τὰ Περίφημα Ἄλυτα Γεωμετρικὰ Προβλήματα τῆς Ἀρχαιότητος, Ἀθῆναι.
ΝΕΤΖ, R. (2003). The Shaping of Deduction in Greek Mathematics, Gr. Translation V. Spyropoulos, ΠΕΚ, Heraklion, 2018.
NEUGEBAUER, O. (2003). Οἱ Θετικὲς Ἐπιστῆμες στὴν Ἀρχαιότητα, μτφρ. Χρ. Ζερμπίνη-Ἰ. Ἀρζόγλου, ΜΙΕΤ, Ἀθῆναι.
OSSERMAN, R. (1998). Ἡ Ποίηση τοῦ Σύμπαντος, μτφρ. Γ. Κυριακόπουλος, Κάτοπτρο, Ἀθῆναι.
ΣΤΑΜΑΤΗ, Σ.Ε. (1957). Εὐκλείδου Στερεομετρία, Στοιχείων Βιβλία ΧΙ, ΧΙΙ καὶ ΧΙΙΙ, τ. IV, ΟΕΔΒ, Ἀθῆναι.
ΣΤΑΜΑΤΗ, Σ.Ε. (1978). «Τὰ Μαθηματικὰ εἰς τὴν Φιλοσοφίαν», «Μαθηματικὰ καὶ Φιλοσοφία», «Τὰ Μαθηματικὰ τῶν Ἀρχαίων Ἑλλήνων» καὶ «Ὁ Ἀριστοτέλης καὶ αἱ ἀρχαὶ τῶν Μαθηματικῶν», στὴν Ἑστία, 10, 13, 15 καὶ 16, Ἀθῆναι.
SZABO, Α. (1973). Ἀπαρχαὶ τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, μτφρ. Ἀ. Τεγοπούλου, ΤΕΕ, Ἀθῆναι.
ΦΙΛΗ, Χ. (2010). Οἱ Ἀρχαιοελληνικὲς Καταβολὲς τῶν Συγχρόνων Μαθηματικῶν, Παπασωτηρίου, Ἀθῆναι.
ΦΙΛΗ, Χ.(2009). «Ὁ Ἀριστοτέλης ὡς πρόδρομος τοῦ Εὐκλείδη», στὴν Φιλοσοφία, 39, Ἀθῆναι.
ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗ, Γ. (2008). Θέματα ἀπὸ τὴν Ἱστορία τῶν Μαθηματικῶν, ΠΕΚ, Ἡράκλειον.
Ὁ Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεύς, γνωστὸς καὶ ὡς Στοιχειωτής, λόγῳ τῆς καθοριστικῆς συμβολῆς του στὴν συγκρότηση τῶν ἀρχῶν τῆς ἐπιστήμης τῶν Μαθηματικῶν, ἐπαρουσίασε περὶ τὸ 300π.Χ., στὰ δεκατρία βιβλία τῶν Στοιχείων, ὅλην τὴν μαθηματικὴ γνώση τῆς ἐποχῆς. Τὰ ἀκριβῆ προσωπικά του στοιχεῖα μᾶς εἶναι σχεδὸν ἄγνωστα. Ἀπὸ τὸν Νεοπλατωνικὸ φιλόσοφο Πρόκλο πληροφορούμαστε, ὅτι ἦταν σύγχρονος τοῦ Πτολεμαίου Α´, ἐμαθήτευσε στὴν πλατωνικὴ Ἀκαδημεία, τῆς ὁποίας ἀσπάσθηκε τὶς ἀρχὲς καὶ ἐδίδαξε τὴν ἐπιστήμη τῶν Μαθηματικῶν στὸ Μουσεῖον τῆς Ἀλεξανδρείας, τὸ πιὸ φημισμένο πανεπιστημιακὸ ἵδρυμα τῆς περιόδου τῶν ἑλληνιστικῶν χρόνων: τῇ προαιρέσει δὲ Πλατωνικός ἐστι καὶ τῇ φιλοσοφίᾳ ταύτῃ οἰκεῖος, ὅθεν δὴ καὶ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο τὴν τῶν καλουμένων πλατωνικῶν σχημάτων σύστασιν[1].
Ἡ διαπίστωση τοῦ Ἀριστοτέλους στὰ Ἀναλυτικῶν Ὕστερα (71a, 1-2), ὅτι: πᾶσα διδασκαλία καὶ πᾶσα μάθησις διανοητικὴ ἐκ προϋπαρχούσης γίνεται γνώσεως, εὑρίσκει τὴν ἀπόλυτη ἐφαρμογή της στὸν Εὐκλείδη, ὁ ὁποῖος ἀκολούθησε στὴν παράδοση ποὺ εἶχαν ἐγκαινιάσει οἱ πρωτεργάτες τοῦ Ἀρχαιοελληνικοῦ Διαφωτισμοῦ: ἀφ᾽ ἑνὸς ὁ Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, ὁ Πυθαγόρας στὸ Ὁμακοεῖον, οἱ Ἐλεᾶτες Παρμενίδης καὶ Ζήνων, ἀφ᾽ ἑτέρου οἱ ἐπίγονοι, ὁ Πλάτων, ὁ Ἀριστοτέλης καὶ οἱ μεγάλοι Μαθηματικοὶ τῆς Ἀκαδημείας: ὁ Θεαίτητος, ὁ Λεωδάμας ὁ Θάσιος, ὁ Ἡρακλείδης ὁ Ποντικός, ὁ Φίλιππος ὁ Ὀπούντιος, ὁ Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, ὁ Θεύδιος ὁ Μάγνης, ὁ Ἱπποκράτης ὁ Χῖος· οἱ δύο τελευταῖοι ἀναφέρονται καὶ ὡς συγγραφεῖς πρωΐμων στοιχείων, ἐκ τῶν ὁποίων εἰκάζεται ὅτι ἀφορμᾶται ὁ Εὐκλείδης. Ἐκτὸς τῶν Στοιχείων συνέγραψε ἀκόμη τὴν Κανόνος Κατατομήν, τὰ Ὀπτικά, τὰ Κατοπτρικά, τὰ ἀπωλεσθέντα Ψευδάρια κ.ἄ.
Πρὶν ἀπὸ τοὺς Ἕλληνες, κυριολεκτῶντας πρὶν ἀπὸ τὸν Θαλῆ, στὸν ὁποῖον ὀφείλουμε τὴν εἰσαγωγὴ τῶν καθολικῶν ἐννοιῶν (τῶν καθόλου τῆς Φιλοσοφίας)[2] τῶν, Ἀποδεικτικῶν ἢ Ἀξιωματικῶν, Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν καὶ τὴν ἀπόδειξιν, ἔχουμε τὰ λεγὀμενα Προελληνικὰ ἢ Ὑπολογιστικὰ Μαθηματικὰ τῶν Βαβυλωνίων, τῶν Σουμερίων καὶ τῶν Αἰγυπτίων, ἀπὸ τὰ ὁποῖα ἀπουσίαζαν, λόγῳ τῶν ἀναγκῶν τῆς καθημερινότητας ποὺ ἐξυπηρετοῦσαν στὸ Ἐμπόριο καὶ στὴν Γεωργία, τόσῳ οἱ καθολικὲς ἔννοιες ὅσῳ καὶ ἡ ἀπόδειξις, μὲ ὅλα τὰ ἀναγκαῖα ἐργαλεῖα ποὺ θὰ τὴν καθιστοῦσαν ἀπόλυτη καὶ ἀναμφισβήτητη, ἐξ οὗ καὶ ἡ παρατήρηση τοῦ Πλάτωνος στὴν Ἐπινομίδα (988a): λάβωμεν δὲ ὡς ὅ,τιπερ ἂν Ἕλληνες βαρβάρων παραλάβωσι, κάλλιον τοῦτο εἰς τέλος ἀπεργάζονται.
Τὸ ἐπίπεδο τῶν μαθηματικῶν γνώσεων τῶν λαῶν αὐτῶν πληροφορούμαστε ἀπὸ τὶς ἔρευνες τοῦ Δανοῦ Μαθηματικοῦ O. Neugebauer, ὁ ὁποῖος ἐμελέτησε εἰς βάθος τὶς διασῳθεῖσες βαβυλωνιακὲς πλάκες, ἐνῷ ὁ Λόρδος Rhind ἀνέδειξε τὸν «Πάπυρο τοῦ Ἀχμὲς» τοῦ Βρεταννικοῦ Μουσείου, ἀποτελούμενο ἀπὸ ὀγδόντα προτάσεις ἐμπειριοκρατικῆς μορφῆς (σ.σ. ἀντίστοιχος πάπυρος ποὺ τὸν ἐπιβεβαιώνει φυλάσσεται στὸ Μουσεῖον τῆς Μόσχας)[3].
Ποῦ ἔγκειται, ὅμως, ἡ ἐπιτυχία τῶν Στοιχείων καί, κατ᾽ ἐπέκτασιν τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν καὶ γιατί ἐπηρέασαν σὲ τόσο μεγάλο βαθμὸ τὴν ἐπιστήμη τῶν Μαθηματικῶν; Κατ᾽ ἀρχὰς στὴν δομή τους, στὰ προαναφερθέντα ἐργαλεῖα· οἱ ὅροι (λατ. definitio), τὰ αἰτήματα (postulatum) καὶ οἱ κοινὲς ἔννοιες ἢ λογικὰ ἀξιώματα (communes notationes)[4] ἀποτελοῦν τὴν ὀργανωτικὴ βάση τους, τὶς ἀπαραίτητες προϋποθέσεις γιὰ τὴν ἀπόδειξη τῶν προτάσεων, μὲ κανόνα καὶ διαβήτη, ποὺ θὰ ἐπακολουθήσουν εὐθὺς ἀμέσως.
Τὰ γεωμετρικὰ μέσα ἔχουν καὶ αὐτὰ τὴν σημασία τους, καθὼς κατὰ τὴν ἴδιαν περίοδο ἀναπτύσσονται τὰ ἄλυτα προβλήματα τῆς ἀρχαιότητος: ὁ τετραγωνισμὸς τοῦ κύκλου, ἡ τριχοτόμηση τυχούσης γωνίας, ἡ κατασκευὴ ἑνὸς κανονικοῦ πολυγώνου τυχόντος ἀριθμοῦ πλευρῶν (p2, ὅπου p>2 καὶ πρῶτος) καὶ ὁ διπλασιασμὸς τοῦ ὄγκου τοῦ κύβου· τὸ ἀδύνατον τῆς ἐπιλύσεως τῶν ἀνωτέρω προβλημάτων ἀπεδείχθη προσφάτως, ἀντιστοίχως κατὰ τὰ ἔτη 1882, 1837, 1894 καὶ 1829[5].
Ἂν καὶ οἱ ὁρισμοὶ θεωροῦνται ἐνίοτε ἀσαφεῖς, ὅπως, λ.χ. ὁ πολυσυζητημένος γιὰ τὴν ἀφαιρετικότητά του ὁρισμὸς τοῦ σημείου ὡς μίας ἀμεροῦς στιγμῆς καί, ὁ ἐπίσης ἀσαφὴς ἢ καὶ «σκοτεινός», τῆς εὐθείας ὡς συνόλου σημείων[6], εἶναι ἀναμφισβήτητο ὅτι βοηθοῦν στὴν ἐξέλιξη τῆς διαδικασίας, ἀναλύοντας μὲ συνοπτικὸ τρόπο τὴν ἀκριβῆ σημασία τῶν ἐξεταζομένων ἐννοιῶν, προκειμένου νὰ ἀποφευχθῇ ἡ μερικὴ ἢ ἡ ὁλικὴ παρανόησή τους. Ἄλλως τε, οἱ Πλατωνικοὶ ἀποδέχονταν οἱονεὶ τὴν προβληματικότητα τῶν ἐν λόγῳ ὁρισμῶν καὶ τὶς ἀπέδιδαν, ὅπως καὶ τοῦ ἀντιστοίχου τῆς μονάδος, στὴν ἀντικειμενικὴ δυσκολία, ἡ ὁποία ἐπάγεται ἀπὸ τὴν πρωταρχικότητά τους· ἐπὶ τοῦ θέματος, ὁ Πρόκλος ἀξιολογεῖ τὸν ὁρισμὸν τοῦ σημείου ὡς ἀτελῆ καὶ ἐπισημαίνει: μόνον οὖν τὸ σημεῖον ἀμερὲς κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ὕλην καὶ ἡ μονὰς κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν καὶ ὁ τοῦ σημείου λόγος, εἰ καὶ πρὸς ἄλλον ἀτελής, ἀλλὰ πρός γε τὴν παροῦσαν ἐπιστήμην τέλειος … μόνον γὰρ οὐχὶ λέγει σαφῶς, ὅτι τὸ ἀμερὲς κατ᾽ ἐμὲ σημεῖόν ἐστι καὶ ἡ ἐμὴ ἀρχὴ καὶ τὸ ἁπλούστατον οὐδὲν ἄλλο ἐστὶν ἢ τοῦτο[7].
Τὶς δυσκολίες αὐτὲς ἐπεσήμανε ὁ Πλάτων στὴν Πολιτείαν, προκειμένου νὰ τονίσῃ τὴν ὑπεροχὴ τῆς Διαλεκτικῆς, τῆς κορωνίδος τῶν ἐπιστημῶν, ἔναντι τῶν Μαθηματικῶν (ὑποθέσεων) καὶ τῶν προβληματικῶν ἀρχικῶν, ἐνδιαμέσων καὶ τελικῶν προτάσεων ποὺ τὰ διέπουν (533c): ἕως ἂν ὑποθέσεσι χρώμεναι ταύτας ἀκινήτους ἐῶσι, μὴ δυνάμεναι λόγον διδόναι αὐτῶν. ὧ γὰρ ἀρχὴ μὲν ὃ μὴ οἶδε, τελετὴ δὲ καὶ τὰ μεταξὺ ἐξ οὗ μὴ οἶδε συμπέπλεκται, τίς μηχανὴ τὴν τοιαύτην ὁμολογίαν ποτὲ ἐπιστήμην γενέσθαι; Οἱ ὁρισμοὶ τοῦ σημείου καὶ τῆς εὐθείας δεικνύουν αὐτὴν ἀκριβῶς τὴν ἀδυναμία, ἐξ οὗ καὶ οἱ εὔλογες ἐνστάσεις ποὺ διατυπώνονται κατὰ καιρούς[8].
Ὁ ὁρισμός, ὁ ὁποῖος διατυποῦται ἐν εἴδει κατηγορικῆς προτάσεως, μὲ ὑποκείμενο τὸ ὁριζόμενον (definitium) καὶ κατηγόρημα τὸ ὁρίζον (definiens), θεωρεῖται ὀρθὸς ἐφ᾽ ὅσον: ἐκ γένους καὶ διαφορῶν ἐστιν (Τοπικά, 103b, 15-16), συμπεριλαμβάνει δηλαδὴ τὸ προσεχὲς γένος (genus proximum) καὶ τὴν εἰδοποιὸν διαφοράν (differentia specifica)· τυπικὴ περίπτωση τέτοιων ὁρισμῶν ἀποτελοῦν οἱ ὁρισμοὶ τῶν τριπλεύρων, τετραπλεύρων καὶ πολυπλεύρων: σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα (Στοιχεῖα, I, ὅρ. ιθ΄)[9]· τὰ εὐθύγραμμα σχήματα ἀποτελοῦν τὸ προσεχὲς γένος καὶ οἱ τρεῖς, οἱ τέσσερις ἢ οἱ περισσότερες εὐθεῖες τὴν εἰδοποιὸν διαφορὰν τοῦ τριπλεύρου, τοῦ τετραπλεύρου καὶ τοῦ πολυπλεύρου.
Οἱ ὁρισμοὶ αὐτοί, ἐφ᾽ ὅσον σὲ αὐτοὺς ἀπαριθμοῦνται τὰ γνωρίσματα τοῦ ὁριζομένου, θεωροῦνται οἱονεὶ ἀναλυτικοί, συναντῶνται δὲ κατὰ κόρον, τόσον στὰ Στοιχεῖα ὅσον καὶ στοὺς πλατωνικοὺς διαλόγους, καθὼς καὶ στοὺς ἀμφισβητούμενους Ὅρους, τοὺς ὁποίους συνέγραψαν οἱ ἄμεσοι πλατωνικοὶ διάδοχοι· λ.χ. ὁ ὁρισμὸς τῆς ἐπιφανείας: ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει καὶ τοῦ στερεοῦ στὰ Στοιχεῖα: στερεόν ἐστι τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον ἢ τοῦ σχήματος στὸν Μένωνα (76a): κατὰ γὰρ παντὸς σχήματος τοῦτο λέγω, εἰς ὃ τὸ στερεὸν περαίνει, τοῦτ᾽ εἶναι σχῆμα· ὅπερ ἂν συλλαβὼν εἴποιμι στερεοῦ πέρας σχῆμα εἶναι[10]. Παραδείγματα ὁρισμῶν (κυρίως ἀποτυχημένων) συναντᾶμε, ἐπίσης, στοὺς πλατωνικοὺς διαλόγους, ἰδιαιτέρως σὲ αὐτοὺς τῆς πρώτης περιόδου, στοὺς ὁποίους ζητεῖται ὁ ὁρισμὸς μιᾶς ἐννοίας· λ.χ. οἱ ὁρισμοὶ τοῦ ὁσίου στὸν Εὐθύφρονα, τῆς ἀνδρείας στὸν Λάχητα, οἱ τρεῖς ὁρισμοὶ τῆς ἀρετῆς στὸν Μένωνα καὶ οἱ ἰσάριθμοι τῆς ἐπιστήμης στὸν Θεαίτητον παρουσιάζουν ἐξαιρετικὸ ἐνδιαφέρον, παρὰ τὴν πλημμελῆ τους διατύπωση, ἡ ὁποία ἐπισημαίνεται ἀπὸ τὸν ἴδιον τὸν Σωκράτη καὶ ἀναδεικνύει τὴν στενὴ σχέση μεταξὺ τῶν Μαθηματικῶν καὶ τῆς Φιλοσοφίας, καθὼς καὶ τὴν κοινή τους πορεία. Ἡ προτροπὴ τοῦ Σωκράτους στὸν νεαρὸ Μαθηματικὸ νὰ σκεφθῇ ἀλλοιῶς (ὅπως ὁ, ὡσεὶ παρὼν στὸν διάλογο, Θεόδωρος ὁ Κυρηναῖος) γιὰ νὰ διατυπώσῃ ἕναν ὀρθὸν καὶ ἀποδεκτὸν ὁρισμὸν τῆς ἐπιστήμης: ἄλλῃ δὴ σκεπτέον … ὡς ὅ τε σὸς καὶ ὁ Θεοδώρου λόγος (Θεαίτητος, 163a), δεικνύει τὴν ἐπιδιωκομένη συσχέτιση.
Ἐν ἀντιθέσει πρὸς τοὺς ὁρισμούς -ἡ διατύπωση ἄλλων ὅρων συνεχίζεται στὰ ἑπόμενα βιβλία, καθὼς ἐπιβάλλεται νὰ διασαφῆται τὸ περιεχόμενο τῶν ἑκάστοτε νέων μαθηματικῶν ἐννοιῶν ποὺ εἰσάγει ὁ Εὐκλείδης- ἀξιώματα (αἰτήματα καὶ κοιναὶ ἔννοιαι) διατυπώνονται μόνον στὴν εἰσαγωγὴ τοῦ πρώτου βιβλίου, ὑποδηλώνουν δὲ «τὶς ἀναπόδεικτες προτάσεις, δηλαδὴ γραμματικὲς δομὲς ποὺ ἔχουν δημιουργηθῆ ἀπὸ τὴν συνένωση πρωταρχικῶν ἐννοιῶν καὶ λογικῶν ὅρων, μὲ σκοπὸ νὰ ἀποτελέσουν τὸ θεμέλιο τῆς παραγωγικῆς θεωρίας»[11]. Στὸ εὔλογο ἐρώτημα περὶ τῆς μεταξύ των διαφορᾶς, οἱ ἀπαντήσεις διΐστανται· τὰ μὴ προφανῆ αἰτήματα ἰσχύουν μόνον γιὰ μία δομή, λ.χ. τὴν Γεωμετρία, ἐξ οὗ καὶ ἡ ἐναλλακτικὴ γραφὴ γεωμετρικὰ ἀξιώματα ἢ γιὰ τὴν ὁποιανδήποτε ἐπιστήμη γιὰ τὴν ὁποίαν διατυπώνονται, ἐνῷ οἱ κοινὲς ἔννοιες ἀποτελοῦν «προτάσεις, κοινὲς γιὰ ὅλες τὶς δομές»[12] (λογικὰ ἀξιώματα), τοῦ τελευταίου, τοῦ ἐνάτου, περὶ τῶν εὐθειῶν καὶ τοῦ χωρίου, ἐξαιρουμένου[13].
Ὁ Πρόκλος, ἂν καὶ δὲν ἀπορρίπτει τὸν διαχωρισμὸ αὐτὸ καὶ διαβλέποντας τὴν δυνατότητα πραγματοποιήσεως ἐνίων κατασκευῶν ἀπὸ τὴν γνώση καὶ τὴν χρήση τῶν αἰτημάτων[14], θεωρεῖ ὅτι ἡ οὐσιώδης διαφορά τους ἔγκειται στὴν κατασκευὴ καὶ στὴν γνώση (διὰ τοῦ αἰτήματος κατασκευάζομε, ἐνῷ διὰ τοῦ ἀξιώματος γνωρίζομε ἀπολύτως): γνῶσις ἄρα ἐναργὴς καὶ ἀναπόδεικτος καὶ λῆψις ἀκατάσκευος διορίζουσι τά τε αἰτήματα καὶ τὰ ἀξιώματα[15].
Ἡ ἐπισήμανση αὐτὴ τοῦ Πρόκλου δὲν πρέπει νὰ θεωρηθῇ ἐσφαλμένη ἢ ἄνευ σημασίας, τοὐναντίον· στὸ πρῶτο, στὸ δεύτερο, στὸ τρίτο καὶ στὸ πέμπτο αἴτημα ὑπονοοῦνται κατασκευαστικὲς πράξεις, καθὼς ὑποδεικνύουν πραγματοποιήσιμες ἐνέργειες, ἐξ οὗ καὶ ἐκφράζονται διὰ τῶν ἐνεργητικῶν ἀπαρεμφάτων: ἀγαγεῖν, ἐκβαλεῖν, γράφεσθαι καὶ ἐκβαλλομένας συμπίπτειν περὶ τῶν δύο εὐθειῶν, ἐν ἀντιθέσει πρὸς τὸ προαναφερθὲν τέταρτο, τὸ ὁποῖο ἐκφράζει μία γενικὴ ἀλήθεια γιὰ τὴν ἰσότητα τῶν ὀρθῶν γωνιῶν καὶ ποὺ θὰ μποροῦσε νὰ ἐκληφθῇ ὡς συνέπεια τοῦ δεκάτου ὁρισμοῦ ἢ ὡς κοινὴ ἔννοια[16].
Ὅσον ἀφορᾷ στὸ περιβόητο αἴτημα ε´, τοῦ ὁποίου ἡ αὐθεντικὴ διατύπωση εἶναι: καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ᾽ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες καὶ ὄχι ἡ ἰσοδύναμη τοῦ Playfair πού, κακῶς, ἔχει ἐπικρατήσει: «ἐὰν εἰς ἐπίπεδον ἐπιφάνειαν ὑπάρχῃ εὐθεῖα γραμμή, ἐκ σημείου ἐκτὸς τῆς εὐθείας, ἄγεται πρὸς αὐτὴν μία καὶ μόνη παράλληλος», ἡ ἀμφισβήτηση τῆς ὁποίας (καμμία ἢ πολλές) ὡδήγησε κατὰ τὸν 19ο αἰῶνα στὴν διατύπωση ἐναλλακτικῶν Γεωμετριῶν, τῆς Ἐλλειπτικῆς καὶ τῆς Ὑπερβολικῆς, ἀπὸ τὸν Γκάους, τὸν Ρῆμαν καὶ τὸν Λομπατσέφσκυ. Ὁ προβληματισμὸς ποὺ προκαλεῖ τὸ ἐν λόγῳ αἴτημα, ἔγκειται στὸ ὅτι ἀφ᾽ ἑνὸς ἀναφέρεται σὲ εὐθεῖες μὴ παράλληλες (συμπίπτειν), προσεγγίζει δηλαδὴ τὸ πρόβλημα κατὰ τρόπον ἀρνητικό, ἀφ᾽ ἑτέρου εἰσάγει τὴν ἔννοιαν τοῦ ἀπείρου (ἐκβαλλομένας ἐπ᾽ ἄπειρον), τοῦ ὁποίου τὸ περιεχόμενο ἔχει προκαθορισθῆ στὸν Παρμενίδην καὶ ὄχι στοὺς ὅρους τῶν Στοιχείων[17].
Σημειωτέον ὅτι στὴν πρότασιν κζ´, ὁ Εὐκλείδης ἀποδεικνύει μίαν φαινομενικῶς ὅμοια πρόταση πρὸς τὸ ἀνωτέρω ἀξίωμα: ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλας ποιῇ, παράλληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι· εἶναι σαφὲς ὅτι πρόκειται περὶ ἄλλης προτάσεως, στὴν ὁποίαν δίδεται μία προϋπόθεση ἰσότητος (τῶν ἐναλλὰξ γωνιῶν) καὶ ἀποδεικνύεται διὰ τῆς εἰς ἄτοπον Ἀπαγωγῆς (ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον), ὅτι οἱ δύο εὐθεῖες (ΑΒ) καὶ (ΓΔ) δὲν συμπίπτουν οὔτε πρὸς τὰ μέρη τῶν Α καὶ Γ οὔτε πρὸς τὰ μέρη τῶν Β καὶ Δ.
Ὅπως προανεφέρθη, ὁ Πλάτων στὸν Παρμενίδην ἔχει ἤδη ὁρίσει τὴν ἔννοιαν τοῦ ἀπείρου· ὁ ἱδρυτὴς τῆς Ἐλεατικῆς σχολῆς θεμελιώνει τὸ ἄπειρον ἐξ ἐπόψεως φιλοσοφικῆς, καθορίζει δὲ τὸ περιεχόμενό του ὡς ἑξῆς: ἄπειρον ἄρα τὸ ἔν, εἰ μήτε ἀρχὴν μήτε τελευτὴν ἔχει (137d). Τὴν λεπτὴ διάκριση μεταξὺ δυνάμει καὶ ἐνεργείᾳ ἀπείρου θὰ ὑποτυπώσῃ ὁ Ἀριστοτέλης: κατ᾽ ἐνέργειαν οὐκ ἔστιν ἄπειρον … διαιρέσει δ᾽ ἐστὶν καὶ λείπεται οὖν δυνάμει εἶναι τὸ ἄπειρον (Περὶ Φύσεως, 206a, 16-18)· ὁ τεμαχισμὸς μιᾶς ράβδου μήκους ἑνὸς μέτρου ἐπ᾽ ἄπειρον (1/2, 1/4, 1/8 κ.ο.κ.) καὶ ἡ δυνατότης ἐπανασυνδέσεως τῶν τεμαχίων αὐτῶν ποὺ θὰ μποροῦσαν νὰ δημιουργήσουν καὶ πάλι τὴν ράβδο τοῦ ἑνὸς μέτρου, ἀποτελοῦν τὸ δυνάμει ἄπειρον, ἐνῷ ἡ ἄπειρη ἀρίθμηση λ.χ. τῶν φυσικῶν ἀριθμῶν (τὸ σύνολο Ν*) τὸ ἐνεργείᾳ: ἀριθμὸς οὐκ ἔσται ἄπειρος (Αὐτόθι, 12-13)[18].
Ὁ Δ. Ἀναπολιτάνος ἀναζητεῖ ἀντίστοιχα αἰτήματα ἢ συνθῆκες στὰ γνωστικὰ ἀντικείμενα τοῦ φιλοσοφικοῦ πλατωνισμοῦ (σ.σ. τὰ Μαθηματικὰ καὶ τὶς Ἰδέες), γιὰ τὰ ὁποῖα θεωρεῖ ὅτι: α) ἡ ὕπαρξή τους δὲν ἐξαρτᾶται ἀπὸ τὴν ὕπαρξη γνώστη τους, β) πρέπει νὰ εἶναι ἀνεξάρτητα ἀπὸ τὴν δυνατότητα καὶ τὸν τρόπο μὲ τὸν ὁποῖο μποροῦν νὰ γνωσθοῦν, γ) θὰ πρέπῃ νὰ παραμένουν ἀναλλοίωτα καὶ νὰ μὴ ὑπόκεινται σὲ ἀλλαγή (ἐνν. χωροχρονικὴ μεταβολή) καὶ δ) νὰ μποροῦν νὰ περιγραφοῦν μὲ ἀκρίβεια[19]. Τέτοιες περιπτώσεις ἀναποδείκτων συμφωνιῶν, ὁμολογημάτων ἢ προϋποθέσεων γιὰ τὴν συζήτηση ποὺ θὰ ἐπακολουθήσῃ καὶ προϋποθέτει μία συμπεφωνημένη βάση, ἀποτελοῦν τὰ τρία ὁμολογήματα τοῦ Θεαιτήτου, οἱ τρεῖς προϋποθέσεις τοῦ Τιμαίου, τὰ ὁμολογήματα ποὺ προτάσσονται πρὸ τῆς ἐξετάσεως τῶν ἀποδείξεων περὶ τῆς ἀθανασίας τῆς ψυχῆς στὸν Φαίδωνα κ.λπ.
Ὑπενθυμίζεται ὅτι, στὸν Θεαίτητον, ὁ Σωκράτης διατυπώνει τρία ἀξιώματα-ὁμολογήματα, γιὰ τὰ ὁποῖα ἀπαιτεῖται ἡ συμφωνία (ὁμολογία) τοῦ νεαροῦ Μαθηματικοῦ τῆς Ἀκαδημείας. Μεταξὺ ἀξιώματος καὶ ὁμολογήματος ὑφίσταται μία σημαντικὴ ἐξωτερικὴ διαφορὰ καὶ μία πιὸ ἐσωτερικὴ καὶ οὐσιώδης. Ἡ ἐξωτερικὴ ἀφορᾷ στὸν τρόπο διὰ τοῦ ὁποίου ἐκφράζονται· στὸν μὲν προφορικὸ λόγο καί, λόγῳ τῆς ἀπαιτουμένης συμφωνίας τῶν παρισταμένων, οἱ ἀρχὲς αὐτὲς καλοῦνται ὁμολογήματα, στὸ δὲ γραπτὸ κείμενο, στὸ ὁποῖο ἡ συμφωνία τῶν ἀναγνωστῶν παραμένει σὲ ἐκκρεμότητα ἐς ἀεί, ἀξιώματα[20].
Ἡ ἐσωτερικὴ διαφορὰ τῶν δύο ἀρχῶν ἔγκειται στὴν προφάνειά τους· τὰ ἀξιώματα εἶναι προφανῆ, οὐδέτερα καὶ ἀναπόδεικτα: ταῦτ’ ἐστὶ τὰ κατὰ πάντας ἀναπόδεικτα καλούμενα ἀξιώματα, καθ’ ὅσον ὑπὸ πάντων οὕτως ἔχειν ἀξιοῦται καὶ διαμφισβητεῖ καὶ πρὸς ταῦτα οὐδείς[21], ἐνῷ τὰ ὁμολογήματα ἐνέχουν ἐνίοτε χροιὰ ἰδεολογικὴ καὶ δὲν εἶναι πάντοτε προφανῆ.
Ἡ ὁμοφωνία ἐπὶ τῶν ὁμολογημάτων θεωρεῖται ἀπαραίτητη ἀπὸ τὸν Σωκράτη, γιὰ δύο λόγους: ἀφ’ ἑνὸς γιὰ νὰ τονίσῃ ὅτι ἕνα τυπικὸ σύστημα τῆς Διαλεκτικῆς (ὅπως καὶ τῶν Μαθηματικῶν) εἶναι σχεδόν πλῆρες, μόνον ἐφ’ ὅσον ἐκκινῇ ἀπὸ τὶς προσυμφωνηθεῖσες πρῶτες ἀρχές, ἀφ’ ἑτέρου, διότι τὰ τρία αὐτὰ ὁμολογήματα ἀποτελοῦν τὴν βάση γιὰ τὴν ἀπόρριψη τῆς ταὐτίσεως, μερικῆς ἢ ὁλικῆς, ἐπιστήμης καὶ αἰσθήσεως-ἀντιλήψεως, ἡ ὁποία ἑδράζεται στὸ δόγμα τοῦ σοφιστῆ Πρωταγόρα: πάντων χρημάτων μέτρον ἄνθρωπος, τῶν μὲν ὄντων ὡς ἔστι, τῶν δὲ μὴ ὄντων ὡς οὐκ ἔστιν (Ἀλήθεια ἢ Καταβαλλόντες, Β, 1, D-K.)
Τὸ πρῶτο ὁμολόγημα ἀποτελεῖ μίαν ἐκσυγχρονισμένη διατύπωση τῆς λογικῆς ἀρχῆς τῆς ταὐτότητος, προσηρμοσμένη ὅμως ἀποκλειστικῶς στὸν αἰσθητὸ κόσμο, τὴν ἀνυπαρξία μεταβολῆς ὁποιουδήποτε φυσικοῦ μεγέθους ὡς πρὸς τὸν ἑαυτό του: μηδὲν ἂν μεῖζον μηδὲ ἔλαττον γενέσθαι μήτε ὄγκῳ μήτε ἀριθμῷ, ἔως ἴσον εἴη αὐτὸ ἑαυτῷ· στὸ δεύτερο ὑποτυπώνονται σὲ μία πρώϊμη, ἂν καὶ ὄχι τόσο ἐπεξεργασμένη, μορφὴ οἱ τρεῖς πρῶτες κοινὲς ἔννοιες τῶν Στοιχείων, οἱ ὁποῖες ἔχουν καθολικὴ ἰσχὺ γιὰ ὅλα τὰ μεγέθη: ὧ μήτε προστιθοῖτο μήτε ἀφαιροῖτο, τοῦτο μήτε αὐξάνεσθαί ποτε μήτε φθίνειν, ἀεὶ δὲ ἴσον εἶναι· ὑπενθυμίζεται, ὅτι οἱ τρεῖς πρῶτες κοινὲς ἔννοιες εἶναι οἱ ἑξῆς: α) τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα, β) ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα καὶ γ) ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα (Στοιχεῖα, I, κ. ἔνν., α΄, β´καὶ γ´).
Τέλος, στὸ τρίτο ποὺ ἀφορᾷ στὸ γιγνόμενον καὶ στὸν κόσμο τοῦ γίγνεσθαι τῶν Ἐλεατῶν, τοῦ Σοφιστῆ καὶ τοῦ Παρμενίδη, ὁ Σωκράτης καλεῖ τὸν νεαρὸ μαθητή του νὰ συμφωνήσῃ στὸ ὅτι, τὸ ὄν οὔτε προϋπῆρξε οὔτε θὰ ὑπάρξῃ στὸ μέλλον, διότι ἐὰν ὑπάρξῃ τώρα ἢ στὸ μέλλον, ὑπάρχει ὡς ἕτερόν τι: ὃ μὴ πρότερον ἦν, ὕστερον ἀλλὰ τοῦτο εἶναι ἄνευ τοῦ γενέσθαι καὶ γίγνεσθαι ἀδύνατον (Θεαίτητος, 155a-b).
Οἱ μέθοδοι τῶν ἀποδείξεων ποικίλλουν· ἡ Ἀνάλυσις καὶ ἡ Σύνθεσις, ἡ Ἀπαγωγὴ εἰς ἄτοπον καὶ ἡ τῆς Τελείας Ἐπαγωγῆς κυριαρχοῦν καὶ προσδίδουν στὰ Στοιχεῖα ἀπολυτότητα καὶ κῦρος. Οἱ δύο πρῶτες μέθοδοι ἀκολουθοῦν σὲ ἀντίστροφη σειρά· ἡ μὲν Ἀνάλυσις ἀποδέχεται ὡς ὀρθὲς τὶς δεδομένες προτάσεις, λ.χ. τὴν (δ1) καὶ τὴν ζητουμένη (ζ) καὶ ἐπαληθεύει τὴν μία ἐκ τῶν δύο δεδομένων (δ2), ἐνῷ ἡ Σύνθεσις δέχεται ὡς ὀρθὲς τὶς δεδομένες (δ1) καὶ (δ2) καὶ ἀποδεικνύει τὴν ζητουμένη (ζ). Οἱ μέθοδοι αὐτές, ἢ ἐὰν εἰδωθῇ ὡς διπλῆ ὅπως θὰ δοῦμε κατωτέρω, ἡ μέθοδος τῆς Ἀναλύσεως καὶ τῆς Συνθέσεως, συνίσταται σὲ ἕξι, πλὴν ὅμως ὄχι πάντοτε ἀπαραίτητα, διακριτὰ μέρη: τὴν πρότασιν, δηλαδὴ τὴν διατύπωση τῆς ἀποδεικτέας προτάσεως, τὴν ἔκθεσιν, τὴν δήλωση τῶν δεδομένων, τὸν διορισμόν, τὴν κατασκευήν, τὴν ἐπαναδιατύπωση ἐν σχέσει πρὸς τὰ δεδομένα καὶ τὶς συνθῆκες ἐπιλυσιμότητος, τὴν ἀπόδειξιν, τὴν διαδικασία κατὰ τὴν ὁποίαν ἐπαληθεύεται τὸ ζητούμενον καὶ τὸ συμπέρασμα, στὸ ὁποῖο ἐπαναδιατυπώνεται ἡ ἀποδεδειγμένη πλέον πρότασις[22]· Ὁ Εὐκλείδης διατυπώνει τὴν ἑξῆς πρόταση: ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας (Στοιχεῖα, ΧΙΙΙ, πρ. β΄). Αὐτὴν καὶ ἄλλες τέσσερις τοῦ ἰδίου βιβλίου, ὁ ἴδιος Σχολιαστὴς ἀποδεικνύει καὶ μὲ τὶς δύο μεθόδους, οἱ ὁποῖες παρατίθενται στὸ Παράρτημα τοῦ ἰδίου βιβλίου[23]. Ἡ πρόταση αὐτὴ μπορεῖ νὰ μεταγραφῇ ὡς ἑξῆς: ἐὰν γιὰ τὰ σημεῖα A, B, C καὶ D τῆς εὐθείας τοῦ σχήματος ἰσχύῃ (δ1): (ΑC)2=5·(AB)2 καὶ (δ2): 2·(ΑΒ)=(ΒD), νὰ ἀποδειχθῇ ὅτι (ζ): (CD)·(AD)= (BC)2 καὶ (BC)>(CD).
Ἡ Ἀπαγωγὴ εἰς ἄτοπον συνίσταται στὸν ἔλεγχο τοῦ ψεύδους τῆς ἀντιφατικῆς, πρὸς τὴν ἀποδεικτέα, προτάσεως· κατασκευάζομε ἕναν ὑποθετικὸ συλλογισμό, ἀρνούμενοι τὴν ἀλήθεια τῆς ἀποδεικτέας (ἐν προκειμένῳ μεικτὸ συλλογισμό, διότι μόνον ἡ μείζων προκειμένη εἶναι ὑποθετική, ἡ ἐλάσσων καὶ τὸ συμπέρασμα εἶναι κατηγορικές) καὶ μέσῳ μιᾶς ἀκολουθίας συλλογισμῶν καταλήγομε σὲ συμπέρασμα, τὸ ὁποῖο ἀντιβαίνει πρὸς τὶς ἀρχικὲς συνθῆκες. Ἐὰν ὑποτεθῇ, ὅτι ζητεῖται ἡ ἀπόδειξη μίας προτάσεως (Α), δεχόμαστε ὅτι αὐτὴ εἶναι ψευδὴς καὶ ἀληθὴς ἡ ἀντιφατική της, ἡ (~Α). Ὁ Ἀριστοτέλης στὰ Ἀναλυτικῶν Πρότερα (41a, 23-28 καὶ 30-32) περιέγραψε τὸν μηχανισμὸ τῆς μεθόδου, ὡς ἑξῆς: πάντες γὰρ οἱ διὰ τοῦ ἀδυνάτου περαίνοντες τὸ μὲν ψεῦδος συλλογίζονται, τὸ δὲ ἐξ ἀρχῆς ἐξ ὑποθέσεως δεικνύουσιν, ὅταν ἀδύνατόν τι συμβαίνῃ τῆς ἀντιφάσεως τεθείσης, οἷον ὅτι ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος διὰ τὸ γίγνεσθαι τὰ περιττὰ ἴσα τοῖς ἀρτίοις συμμέτρου τεθείσης… τοῦτο γὰρ ἦν τὸ διὰ τοῦ ἀδυνάτου συλλογίσασθαι, τὸ δεῖξαί τι ἀδύνατον διὰ τὴν ἐξ ἀρχῆς ὑπόθεσιν. Τέλος, τὴν Τελεία Ἐπαγωγὴ χρησιμοποιεῖ στὶς προτάσεις γ´ γιὰ τὸν μέγιστο κοινὸ διαιρέτη (τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν), ιδ´, κζ´ καὶ λε´ γιὰ τὸ ἐλάχιστο κοινὸ πολλαπλάσιο (ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσι καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπ᾽ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει) τοῦ VII βιβλίου, στὴν ιγ´ τοῦ VIIΙ καὶ στήν, περιώνυμη περὶ τῆς ἀπειρίας τῶν πρώτων ἀριθμῶν, κ´τοῦ ΙΧ (οἱ πρῶτοι ἀριθμοὶ πλείους εἰσὶ παντὸς τοῦ προτεθέντος πλήθους πρώτων ἀριθμῶν)· στὴν τελευταία πρόταση ἐπιτυγχάνεται ὁ συνδυασμὸς τῶν μεθόδων τῆς Τελείας Ἐπαγωγῆς καὶ τῆς Ἀπαγωγῆς εἰς ἄτοπον, καθὼς ὁ Εὐκλείδης ὑποθέτει ὅτι τῶν πρώτων Α, Β, Γ πλείους εἰσὶ πρῶτοι ἀριθμοί.
Τὸ κλῖμα τῆς ἐποχῆς καὶ τὴν συνεισφορὰ τῶν Στοιχείων στὸν ἑλληνιστικὸ κόσμο μᾶς τὸ μεταφέρει R. Osserman, ὁ ὁποῖος ἀναζητεῖ τὰ αἴτια τῆς γοητείας ποὺ ἀσκοῦν ἀκόμη καὶ σήμερα, ἐπισημαίνει δὲ ὅτι: α) χαρακτηρίζονται ἀπὸ τὴν αἴσθηση τῆς βεβαιότητας –σὲ ἕναν κόσμο γεμᾶτο ἀπὸ παράλογες πεποιθήσεις καὶ ἀναξιόπιστες εἰκοτολογίες, οἱ προτάσεις τῶν Στοιχείων ἀποδεικνύονταν ὀρθὲς πέραν πάσης ἀμφιβολίας. μολονότι ὡρισμένα χαρακτηριστικὰ τόσο τῶν παραδοχῶν ὅσο καὶ τῶν μεθόδων συλλογισμοῦ ποὺ ἐχρησιμοποίησε ὁ Εὐκλείδης ἔχουν τεθῆ ὑπὸ ἀμφισβήτηση στὸ πέρασμα τῶν αἰώνων, τὸ ἐκπληκτικὸ εἶναι ὅτι ἔπειτα ἀπὸ δύο χιλιετίες κανεὶς δὲν ἔχει ἀνακαλύψει ἕνα πραγματικὸ λάθος στὰ Στοιχεῖα –δηλαδή, μία πρόταση ποὺ δὲν προκύπτει λογικὰ ἀπὸ τὶς δεδομένες παραδοχές, β) ἡ ἰσχὺς τῶν Στοιχείων ἐκπηγάζει ἀπὸ τὴν μέθοδο· ὁ Εὐκλείδης ξεκινῶντας ἀπὸ ἐλάχιστες, ρητὰ διατυπωμένες παραδοχὲς παρήγαγε μία ἐκπληκτικὴ σειρὰ συνεπειῶν, γ) ἡ εὐστροφία, μὲ τὴν ὁποίαν ἐπιτυγχάνονται οἱ ἀποδείξεις· μία εὐστροφία, ἡ ὁποία δὲν διαφέρει καὶ πολὺ ἀπὸ ἐκείνη ποὺ καθιστᾷ συναρπαστικὴ μία καλογραμμένη ἀστυνομικὴ ἱστορία καὶ δ) τὰ ἀντικείμενα συλλογισμοῦ στὰ πρῶτα βιβλία τῶν Στοιχείων εἶναι γεωμετρικὰ σχήματα, τὰ ὁποῖα μᾶς ἑλκύουν αἰσθητικὰ ἀφ’ ἑαυτῶν, πέρα ἀπὸ ὁποιονδήποτε τυπικὸ συλλογισμό, ποὺ θὰ μποροῦσε νὰ ἐφαρμοσθῇ σὲ αὐτά[24].
Αὐτὴν τὴν «αἴσθηση βεβαιότητος» ποὺ ἀποπνέουν τὰ Στοιχεῖα καὶ τὴν χαρίζουν γενναιόδωρα «σὲ ἕναν κόσμο γεμᾶτο ἀπὸ παράλογες πεποιθήσεις καὶ ἀναξιόπιστες εἰκοτολογίες», προσπάθησαν νὰ ἀμφισβητήσουν δύο μεγάλοι Μαθηματικοὶ τοῦ 20οῦ αἰῶνος· ἀφ᾽ ἑνὸς ὁ D. Hilbert (1862-1943), ὁ ὁποῖος ὑποκατέστησε τὰ σημεῖα, τὶς εὐθεῖες καὶ τὰ ἐπίπεδα τοῦ Εὐκλείδη, ἀφοῦ τὰ ἐχρησιμοποίησε καταχρηστικῶς καὶ ἀοριστολογικῶς[25], μὲ τὰ κεφαλαῖα καὶ τὰ μικρὰ γράμματα τῆς λατινικῆς καὶ τῆς ἑλληνικῆς ἀλφαβήτου, ἀφ᾽ ἑτέρου ὁ J. Dieudonné (1906-1992) πρὸ ἑξηκονταετίας (1959) στὸ περιβόητο Συνέδριο τῆς Royaumont, ὅπου ἀπαίτησε: «νὰ φύγῃ ὁ Εὐκλείδης». Δυστυχῶς, οἱ συνέπειες τῆς φυγῆς αὐτῆς, ἀκόμη καὶ ἀπὸ τὴν χώρα τοῦ Στοιχειωτῆ, στὴν ὁποίαν θἄπρεπε νὰ ἀπαιτῆται ἡ ἄμεση ἐπιστροφή του, εἶναι σήμερα μετρήσιμες. Οἱ μελέτες τῆς Ἀρχῆς Διασφαλίσεως τῆς Ποιότητος στὴν Πρωτοβάθμια καὶ στὴν Δευτεροβάθμια Ἐκπαίδευση περὶ λειτουργικοῦ ἀναλφαβητισμοῦ τῶν Ἑλληνοπαίδων κρούουν τὸν κώδωνα τοῦ κινδύνου καὶ προειδοποιοῦν τοὺς ἰθύνοντες. Δὲν χρειάζεται νὰ ἐθελοτυφλοῦμε, καθὼς ἀποτελεῖ κοινὴ ὁμολογία, ὅτι οἱ σπουδαιότερες παρακαταθῆκες τῆς ἀνθρωπιστικῆς παιδείας ποὺ μᾶς κατέλειπαν οἱ πρόγονοί μας, δηλαδὴ ὁ συλλογισμὸς καὶ ὁ ἀποδεικτικὸς λόγος ἀποτελοῦν τὶς ἀναγκαῖες συνθῆκες γιὰ μία πιὸ οὐσιαστικὴ φυγή· αὐτὴν ἀπὸ τὸ ἀδέξοδο στὸ ὁποῖο βρισκόμαστε.
[1]. ΠΡΟΚΛΟΥ, Εἰς Πρῶτον τῶν Εὐκλείδου Στοιχείων, 68, 20-23· ἡ παρατήρηση τοῦ Πρόκλου ποὺ ἀφορᾷ στὰ πλατωνικὰ σχήματα (στερεά) ὡς τὸ τῆς συμπάσης στοιχειώσεως τέλος (σκοπὸ τῶν Στοιχείων) γενικῶς δὲν στοιχειοθετεῖται.
[2]. Πβ. ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ, Στοιχεῖα, I, ὅρ. ιζ΄: διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον, ὁ ὁποῖος ἀποτελεῖ τὴν πιὸ ἐνδεικτικὴ περίπτωση ὁρισμοῦ καθολικῆς ἐννοίας.
[3]. Πβ. O. NEUGEBAUER (2003). Οἱ Θετικὲς Ἐπιστῆμες στὴν Ἀρχαιότητα, σσ. 112-115.
[4]. Πβ. Γ. ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗ, Θέματα ἀπὸ τὴν Ἱστορία τῶν Μαθηματικῶν, σσ. 89-92 καὶ Χ. ΦΙΛΗ, Οἱ Ἀρχαιοελληνικὲς Καταβολὲς τῶν Συγχρόνων Μαθηματικῶν, σ. 46.
[5]. Μ.Α. ΜΠΡΙΚΑ, Τὰ Περίφημα Ἄλυτα Γεωμετρικὰ Προβλήματα τῆς Ἀρχαιότητος, σσ. 8-9, 11-13, 130 καὶ 133-135.
[6]. ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ, μν. ἔργ., I, ὅρ. α΄ καὶ δ´: σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθὲν καὶ εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς εφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται· πβ. ἐπ. Χ. ΦΙΛΗ, μν. ἔργ., σσ. 39-43.
[7]. ΠΡΟΚΛΟΥ, μν. ἔργ., 93, 18-22 καὶ 94, 1-8· πβ. ἐπ. B. LEVI, Διαβάζοντας τὸν Εὐκλείδη, σσ. 108-109.
[8]. Πβ. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ. «Μαθηματικὰ καὶ Φιλοσοφία», σ. 24.
[9]. Πβ. Θ. ΒΟΡΕΑ, Λογική, σσ. 168-169 καὶ Ν.Ρ. WHITE, Ὁ Πλάτων γιὰ τὴν Γνώση καὶ τὴν Πραγματικότητα, σσ. 59-63.
[10]. ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ, μν. ἔργ., I, ὅρ. ε΄καὶ ΧΙ, ὅρ. α´. Ὑπενθυμίζεται, ὅτι ὁ ἀντίστοιχος ὁρισμὸς τοῦ σχήματος στὰ Στοιχεῖα (I, ὅρ. ιδ´) διατυποῦται ὡς ἑξῆς: σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
[11]. B. LEVI, μν. ἔργ., σ. 105.
[12]. I.G. BASMAKOVA, Ἱστορία τῶν Ἀρχαίων Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, σ. 9.
[13]. Πβ. S. HEATH, μν. ἔργ., σσ. 416 καὶ 457· ἡ ἀντιστοίχισή τους σὲ γεωμετρικὰ καὶ λογικὰ ἀξιώματα στὸ Χ. ΦΙΛΗ, μν. ἔργ., σ. 47. Περὶ «μὴ ἐνδεδειγμένης ἑρμηνείας» ὁμιλεῖ ὁ B. LEVI, μν. ἔργ., σ. 108.
[14]. Πβ. Χ. ΦΙΛΗ, μν. ἔργ., σ. 44, στὸ ὁποῖο ἐπισημαίνεται ἡ συνάφεια τοῦ αἰτήματος δ΄: πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι καὶ τοῦ ὅρου ι΄: περὶ τῶν ἐφεξῆς ἴσων γωνιῶν.
[15]. ΠΡΟΚΛΟΥ, μν. ἔργ., 179, 9-11.
[16]. Πβ. B. LEVI, μν. ἔργ., σσ. 107-108 καὶ 117-118.
[17]. Πβ. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ. «Τὰ Μαθηματικὰ τῶν Ἀρχαίων Ἑλλήνων», σσ. 26-27, Ι.Γ. ΙΩΑΝΝΙΔΗ, Ἐπίπεδος Γεωμετρία, σ. 41 καὶ D. BERLINSKI, Ὁ Βασιληᾶς τοῦ Ἀπείρου Χώρου, σσ. 65-67.
[18]. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ. «Τὰ Μαθηματικὰ εἰς τὴν Φιλοσοφίαν», σσ. 19-20.
[19]. Δ. ΑΝΑΠΟΛΙΤΑΝΟΥ, Ἡ Φιλοσοφία τῶν Μαθηματικῶν, σ. 30.
[20]. Πβ. Α. SZABO, Ἀπαρχαὶ τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, σσ. 396-400 καὶ Β. ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, «Περὶ τῶν Προευκλειδείων Στοιχείων Γεωμετρίας», σ. 161.
[21]. ΠΡΟΚΛΟΥ, Εἰς τὸ πρῶτον τῶν Εὐκλείδου Στοιχείων, 193, 15-18.
[22]. T.L. HEATH, Ἱστορία τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, σ. 454, Β. ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, μν. ἔργ., σσ. 154-157, ὅπου ἐπισημαίνεται ἡ μαρτυρία τοῦ Εὐδήμου περὶ τῆς ἀνακαλύψεως τοῦ διορισμοῦ ἀπὸ τὸν Λέοντα τὸν Βυζάντιο καὶ Β. ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, Μαθηματικὰ καὶ Τεχνολογία στὴν Ἀρχαία Ἑλλάδα, σσ. 133-154.
[23]. Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ, Στερεομετρία, Στοιχείων Βιβλία ΧΙ, ΧΙΙ καὶ ΧΙΙΙ, Παράρτημα Ι, σσ. 202-209.
[24]. R. OSSERMAN, Ἡ ποίηση τοῦ Σύμπαντος, σ. 22.
[25]. D. HILBERT, Θεμέλια τῆς Γεωμετρίας, σ. 131 καὶ Ε.Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ, «Ὁ Ἀριστοτέλης καὶ αἱ ἀρχαὶ τῶν Μαθηματικῶν», σσ. 29-30.
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
ΑΝΑΠΟΛΙΤΑΝΟΥ, Δ.(2005). Εἰσαγωγὴ στὴν Φιλοσοφία τῶν Μαθηματικῶν, Νεφέλη, Ἀθῆναι.
ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ, Φ. (1971). Φιλοσοφία τῶν Μαθηματικῶν, ΤΕΕ, Ἀθῆναι.
ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ, Φ. (1977). «Φιλοσοφικὴ Θεώρηση τῆς Μαθηματικῆς Ἐπιστήμης ὡς Ἀποδεικτικῆς», στὴν Φιλοσοφία, 7, Ἀθῆναι.
BASMAKOVA, G.Ι. (2014). Ἱστορία τῶν Ἀρχαίων Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, μτφρ. Ι.Μ. Βανδουλάκης, Παπασωτηρίου, Ἀθῆναι.
ΒΟΡΕΑ, Θ. (1972). Λογική, ΟΕΔΒ, Ἀθῆναι.
HEATH, L. Sir T. (2001). Ἱστορία τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, μτφρ. Ἀθ. Ἀγγελῆ, Ἑλ. Βλάμου, Θ. Γραμμένου καὶ Ἀνδρ. Σπανοῦ, τ. Ι, ΚΕΕΠΕΚ, Ἀθῆναι.
ΘΩΜΑΪΔΗ, Γ.-ΠΟΥΛΟΥ, Α. (2006). Διδακτικὴ τῆς Εὐκλείδειας Γεωμετρίας, Ζήτης, Θεσσαλονίκη.
ΙΩΑΝΝΙΔΗ, Γ.Ι. (1970). Ἐπίπεδος Γεωμετρία, Π. Γρηγορόπουλος, Ἀθῆναι.
HILBERT, D. (1995). Θεμέλια τῆς Γεωμετρίας, μτφρ. Στ. Παπαδόπουλος, Τροχαλία, Ἀθῆναι.
ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, Β. (2009). «Περὶ τῶν Προευκλειδείων Στοιχείων Γεωμετρίας», στὸ Στιγμὲς καὶ Διάρκειες, Νεφέλη, Ἀθῆναι.
ΚΑΡΑΣΜΑΝΗ, Β. (20019). Μαθηματικὰ καὶ Τεχνολογία στὴν Ἀρχαία Ἑλλάδα, Λιβάνης, Ἀθῆναι.
LEVI, B. (2000). Leyendo a Eyclides, Gr. Translation A. Michaelidis, Patakis, Athens, 2014.
ΜΠΡΙΚΑ, Α.Μ. (1970). Τὰ Περίφημα Ἄλυτα Γεωμετρικὰ Προβλήματα τῆς Ἀρχαιότητος, Ἀθῆναι.
ΝΕΤΖ, R. (2003). The Shaping of Deduction in Greek Mathematics, Gr. Translation V. Spyropoulos, ΠΕΚ, Heraklion, 2018.
NEUGEBAUER, O. (2003). Οἱ Θετικὲς Ἐπιστῆμες στὴν Ἀρχαιότητα, μτφρ. Χρ. Ζερμπίνη-Ἰ. Ἀρζόγλου, ΜΙΕΤ, Ἀθῆναι.
OSSERMAN, R. (1998). Ἡ Ποίηση τοῦ Σύμπαντος, μτφρ. Γ. Κυριακόπουλος, Κάτοπτρο, Ἀθῆναι.
ΣΤΑΜΑΤΗ, Σ.Ε. (1957). Εὐκλείδου Στερεομετρία, Στοιχείων Βιβλία ΧΙ, ΧΙΙ καὶ ΧΙΙΙ, τ. IV, ΟΕΔΒ, Ἀθῆναι.
ΣΤΑΜΑΤΗ, Σ.Ε. (1978). «Τὰ Μαθηματικὰ εἰς τὴν Φιλοσοφίαν», «Μαθηματικὰ καὶ Φιλοσοφία», «Τὰ Μαθηματικὰ τῶν Ἀρχαίων Ἑλλήνων» καὶ «Ὁ Ἀριστοτέλης καὶ αἱ ἀρχαὶ τῶν Μαθηματικῶν», στὴν Ἑστία, 10, 13, 15 καὶ 16, Ἀθῆναι.
SZABO, Α. (1973). Ἀπαρχαὶ τῶν Ἑλληνικῶν Μαθηματικῶν, μτφρ. Ἀ. Τεγοπούλου, ΤΕΕ, Ἀθῆναι.
ΦΙΛΗ, Χ. (2010). Οἱ Ἀρχαιοελληνικὲς Καταβολὲς τῶν Συγχρόνων Μαθηματικῶν, Παπασωτηρίου, Ἀθῆναι.
ΦΙΛΗ, Χ.(2009). «Ὁ Ἀριστοτέλης ὡς πρόδρομος τοῦ Εὐκλείδη», στὴν Φιλοσοφία, 39, Ἀθῆναι.
ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗ, Γ. (2008). Θέματα ἀπὸ τὴν Ἱστορία τῶν Μαθηματικῶν, ΠΕΚ, Ἡράκλειον.
Οι απόψεις του ιστολογίου μπορεί να μην συμπίπτουν με τα περιεχόμενα του άρθρου
